paradoxe de Parrondo

Imaginez deux machines à sous. Sur une longue série, chacune fait perdre un peu d'argent lorsqu'on l'utilise seule. Pourtant, jouer deux fois à la première, puis deux fois à la seconde, peut faire monter le capital en moyenne.

Il n'y a ni argent créé ni contradiction logique. Un jeu modifie la situation dans laquelle le suivant sera joué. L'alternance change donc la fréquence des cas favorables et défavorables : le résultat d'ensemble n'est pas une simple moyenne des deux jeux isolés.

Le paradoxe de Parrondo est un résultat de probabilités dans lequel deux dynamiques perdantes, considérées séparément à long terme, produisent une dynamique gagnante lorsqu'elles sont alternées selon une règle appropriée. Chaque coup fait évoluer un état, par exemple un capital. La règle suivante peut dépendre de cet état ; l'ordre des jeux modifie alors les situations rencontrées.

Dans le modèle conducteur, le jeu A emploie toujours une probabilité de gain de 0,495. Le jeu B emploie une probabilité de gain de 0,095 lorsque le capital est divisible par 3, et de 0,745 sinon. Un gain ajoute une unité au capital et une perte en retire une. Joué seul dans son régime de long terme, A perd 0,01 unité par coup en moyenne et B environ 0,0087. L'alternance périodique AABB gagne pourtant environ 0,0147 unité par coup en régime périodique. Le paradoxe porte sur ces évolutions moyennes de long terme, non sur la garantie de gagner une partie particulière.

Si deux jeux font évoluer un même état, si chacun a un gain moyen de long terme négatif lorsqu'il est répété seul, et si leurs règles interagissent différemment avec cet état, alors une alternance appropriée peut avoir un gain moyen positif. Ce n'est pas vrai pour toute paire de jeux perdants ni pour toute alternance. Le verdict se vérifie en calculant la distribution des états atteinte par chaque protocole, puis le gain moyen qui en résulte.

Le phénomène s'applique à des jeux successifs qui partagent un état mesurable et dont au moins une règle réagit à cet état. Il faut fixer ce que signifie « perdant » : ici, un gain moyen négatif par coup dans le régime de long terme du protocole considéré. Il faut aussi préciser l'ordre d'alternance et comparer les gains avec la distribution d'états propre à chaque protocole.

Contre-cas : si A et B sont de simples pièces dont les probabilités ne dépendent ni du capital ni du passé, et si chacune a une espérance négative, toute alternance fixée conserve une espérance négative. Dans ce cas, il faut calculer la moyenne pondérée des gains des deux jeux ; aucune redistribution favorable des états n'est possible.

Un joueur possède un capital entier. Chaque gain ajoute 1 et chaque perte retire 1. Dans A, la probabilité de gagner vaut 0,495. Dans B, elle vaut 0,095 si le capital est divisible par 3, et 0,745 sinon.

1. Pour A seul, le gain moyen par coup vaut $\mathrm{0,495}\times 1+\mathrm{0,505}\times (-1)=-\mathrm{0,01}0\{,\}495\backslash times\; 1+0\{,\}505\backslash times(-1)=-0\{,\}01$ unité.
2. Pour suivre le capital modulo 3, on le range dans trois catégories concrètes : multiple de 3, ou avec reste 1 ou 2. Après chaque coup, chaque part de la distribution passe à la catégorie suivante en cas de gain et à la précédente en cas de perte ; on répète ces transitions jusqu'à stabilisation. Pour B seul, la part des multiples de 3 se stabilise vers 0,3836. Comme le gain moyen de B vaut −0,81 dans cette catégorie et 0,49 dans les deux autres, la moyenne est $\mathrm{0,3836}\times (-\mathrm{0,81})+\mathrm{0,6164}\times \mathrm{0,49}\approx -\mathrm{0,0087}0\{,\}3836\backslash times(-0\{,\}81)+0\{,\}6164\backslash times\; 0\{,\}49\backslash approx-0\{,\}0087$ unité par coup.
3. On répète maintenant A, A, B, B. On applique la même transition après chacun des quatre coups jusqu'à retrouver la même distribution au début du cycle : la proportion de multiples de 3 vaut alors environ 0,3603 avant le premier B, puis 0,3331 avant le second.
4. Ces deux proportions donnent respectivement $\mathrm{0,3603}\times (-\mathrm{0,81})+\mathrm{0,6397}\times \mathrm{0,49}\approx \mathrm{0,0216}0\{,\}3603\backslash times(-0\{,\}81)+0\{,\}6397\backslash times\; 0\{,\}49\backslash approx\; 0\{,\}0216$ et $\mathrm{0,3331}\times (-\mathrm{0,81})+\mathrm{0,6669}\times \mathrm{0,49}\approx \mathrm{0,0570}0\{,\}3331\backslash times(-0\{,\}81)+0\{,\}6669\backslash times\; 0\{,\}49\backslash approx\; 0\{,\}0570$ unité. Dans le régime périodique, les gains moyens des quatre coups valent donc approximativement −0,0100 ; −0,0100 ; 0,0216 ; 0,0570 unité.

La moyenne sur le cycle est donc $\frac{-\mathrm{0,0100}-\mathrm{0,0100}+\mathrm{0,0216}+\mathrm{0,0570}}{4}\approx \mathrm{0,0147}\backslash frac\{-0\{,\}0100-0\{,\}0100+0\{,\}0216+0\{,\}0570\}\{4\}\backslash approx\; 0\{,\}0147$ unité par coup : A et B sont perdants seuls, mais AABB est gagnant en moyenne. Le contrôle consiste à refaire la somme des quatre gains ; son signe doit être positif. La figure rend visible cette compensation au sein d'un cycle.

En dynamique des populations, on compare des successions de régimes plutôt que chaque régime isolé. Lorsque la composition de la population laissée par une étape modifie l'effet de la suivante, le calcul doit suivre l'état au fil de l'alternance.

En mathématiques financières, le même réflexe consiste à évaluer une suite de stratégies sur l'évolution qu'elle produit. Une moyenne des performances isolées ne suffit pas lorsque chaque étape change les conditions rencontrées ensuite.

Dans un modèle de système complexe, on préfère donc une analyse de l'état successif à une addition de bilans séparés dès qu'un effet de mémoire ou une dépendance à l'état est observable.

Avec une diversification de jeux indépendants. Mélanger deux jeux à espérance négative et indépendants ne rend pas leur espérance positive. Le cas tranche si les probabilités restent identiques quel que soit le capital : une moyenne pondérée suffit alors.

Avec la certitude de gagner. Le paradoxe concerne un gain moyen calculé sur une longue durée. Une partie AABB peut finir en perte ; observer une trajectoire perdante ne réfute donc pas le résultat probabiliste.

Toute alternance ne gagne pas. Le symptôme est un gain moyen nul ou négatif après calcul du cycle. Il faut tester l'ordre et les fréquences effectivement choisis, pas conclure à partir du seul caractère perdant de A et B.

Le court terme peut masquer le signe moyen. Dans l'exemple, AABB vaut environ 0,0147 unité par coup seulement dans son régime périodique. Une simulation courte fluctue et dépend de l'état initial ; il faut augmenter la durée ou calculer la distribution des états.

Le seuil zéro est décisif. Un gain moyen exactement nul décrit un jeu équitable, non un jeu perdant ou gagnant. Les arrondis proches de zéro doivent conserver assez de chiffres pour ne pas inverser le verdict.

La corrélation n'est pas une explication magique. Si l'on ne peut pas montrer comment une règle redistribue les états avant la suivante, le mécanisme n'est pas établi. Il faut alors construire la transition entre états et recalculer le gain moyen.

La chaîne de Markov formalise les passages entre les trois restes du capital et permet de calculer leur distribution de long terme.

L'espérance mathématique précise le critère qui qualifie ici un jeu de perdant, équitable ou gagnant.