cinquième problème de Huygens

Deux joueurs commencent avec 12 jetons chacun et lancent trois dés. Un total de 11 fait passer un jeton de A à B ; un total de 14 produit le transfert inverse. Tous les autres totaux laissent les jetons en place.

Le jeu paraît équilibré parce que les deux joueurs partent à égalité. Il ne l’est pas : parmi les 216 résultats ordonnés des trois dés, 11 apparaît 27 fois et 14 seulement 15 fois. A perd donc un jeton plus souvent qu’il n’en gagne, jusqu’à ce qu’un joueur possède les 24 jetons.

Le cinquième problème de Huygens est un problème de probabilité formulé dans le Tractatus de ratiociniis in aleae ludo, publié en 1657. A et B possèdent d’abord 12 jetons chacun. Avec trois dés, un total de 11 transfère un jeton de A vers B, tandis qu’un total de 14 transfère un jeton de B vers A. La partie s’arrête dès que A ou B réunit les 24 jetons.

Sur les 216 triplets ordonnés équiprobables, 27 donnent 11, 15 donnent 14 et 174 ne déplacent aucun jeton. Si l’on ne conserve que les 42 coups qui modifient la répartition, A recule avec la probabilité 27/42 = 9/14 et avance avec la probabilité 15/42 = 5/14. Le nombre de jetons de A suit ainsi une marche entre 0 et 24, partie de 12, dont les extrémités arrêtent le jeu.

En notant P la probabilité que A atteigne 24 avant 0, le calcul de ruine du joueur donne $P=\frac{5^{12}}{5^{12}+9^{12}}P=\backslash frac\{5^\{12\}\}\{5^\{12\}+9^\{12\}\}$. Les chances de A contre celles de B sont donc dans le rapport exact $\frac{P}{1-P}={\left(\frac{5}{9}\right)}^{12}\backslash frac\{P\}\{1-P\}=\backslash left(\backslash frac\{5\}\{9\}\backslash right)^\{12\}$, soit 244 140 625 contre 282 429 536 481.

On reprend exactement la partie de Huygens : A et B ont chacun 12 jetons, trois dés sont lancés, A perd un jeton sur un total de 11 et en gagne un sur un total de 14. Il faut comparer leurs chances d’obtenir les 24 jetons en premier.

1. Compter les résultats : 27 triplets donnent 11 et 15 triplets donnent 14, sur 216.
2. Écarter provisoirement les 174 coups neutres : parmi les 42 coups décisifs, A recule avec 9/14 et avance avec 5/14.
3. Pour k jetons détenus par A, noter P_k sa probabilité d’atteindre 24 avant 0. Elle vérifie $P_k=\frac{5}{14}{P}_{k+1}+\frac{9}{14}{P}_{k-1}P\_k=\backslash frac\{5\}\{14\}P\_\{k+1\}+\backslash frac\{9\}\{14\}P\_\{k-1\}$, avec $P_0=0P\_0=0$ et $P_{24}=1P\_\{24\}=1$.
4. En posant $r=\frac{9}{5}r=\backslash frac\{9\}\{5\}$, la solution de cette relation est $P_k=\frac{r^k-1}{r^{24}-1}P\_k=\backslash frac\{r^k-1\}\{r^\{24\}-1\}$.
5. Au départ k = 12, simplifier le rapport : $\frac{P_{12}}{1-P_{12}}=\frac{r^{12}-1}{r^{24}-r^{12}}=r^{-12}={\left(\frac{5}{9}\right)}^{12}\backslash frac\{P\_\{12\}\}\{1-P\_\{12\}\}=\backslash frac\{r^\{12\}-1\}\{r^\{24\}-r^\{12\}\}=r^\{-12\}=\backslash left(\backslash frac\{5\}\{9\}\backslash right)^\{12\}$. Ainsi $P=P_{12}=\frac{5^{12}}{5^{12}+9^{12}}P=P\_\{12\}=\backslash frac\{5^\{12\}\}\{5^\{12\}+9^\{12\}\}$.

A a donc exactement 244 140 625 chances contre 282 429 536 481 pour B, soit un rapport d’environ 8,644 × 10⁻⁴. Le contrôle est direct : 5¹² = 244 140 625 et 9¹² = 282 429 536 481.

Pour contrôler le dénombrement, écrivez le résultat de chaque dé sous la forme u + 1, avec u compris entre 0 et 5. Répartir n unités entre trois entiers positifs ou nuls donne (n + 1)(n + 2)/2 possibilités. Un total de 11 revient à répartir 8 unités : il y a d’abord 45 répartitions, puis on retire, pour chacun des trois dés, les 6 où u dépasserait 5, soit 45 − 3 × 6 = 27. Pour un total de 14, on répartit de même 11 unités : 78 − 3 × 21 = 15. Deux dés ne peuvent pas dépasser simultanément la borne, car cela demanderait déjà au moins 12 unités.

Pour suivre une partie, notez seulement le nombre de jetons de A après chaque lancer. Un total différent de 11 ou 14 ne change pas cet état : il allonge la partie, mais ne favorise aucun déplacement.

Pour annoncer le résultat, choisissez la grandeur demandée. La probabilité de victoire de A vaut environ 0,0008637, tandis que le rapport de ses chances à celles de B vaut environ 0,0008644. Les deux nombres sont proches, mais ils ne répondent pas à la même question.

Probabilité d’un total et probabilité de gagner. Le nombre 15/216 mesure la chance d’obtenir 14 en un lancer. La victoire de A exige une succession de transferts jusqu’à 24 jetons : sa probabilité est donc 5¹²/(5¹² + 9¹²), et non 15/216.

Espérance mathématique et probabilité de victoire. Une espérance est la moyenne des gains possibles, pondérés par leurs probabilités ; une probabilité de victoire mesure seulement la fréquence théorique d’un résultat gagnant. Dans ce jeu, déterminer qui devrait gagner le plus souvent ne revient pas à calculer une valeur moyenne monétaire.

Les coups neutres ne disparaissent pas du temps de jeu. Les 174 résultats autres que 11 et 14 peuvent être ignorés pour déterminer le vainqueur éventuel. Ils doivent être conservés si l’on étudie le nombre total de lancers.

Le comptage suppose 216 triplets équiprobables. Les fractions 27/216 et 15/216 reposent sur trois dés dont les faces produisent ces résultats avec la même probabilité et indépendamment. Si ce modèle ne convient pas aux dés utilisés, il faut employer leurs probabilités réelles.

Rapport de chances et probabilité ne sont pas interchangeables. Le rapport exact en faveur de A est (5/9)¹². Sa probabilité de victoire est ce rapport divisé par un plus ce rapport, soit 5¹²/(5¹² + 9¹²). L’expression (5/9)¹²/(1 − (5/9)¹²) donnée dans la source ne représente ni l’un ni l’autre.

Les bornes arrêtent la marche. À 0 jeton, A a perdu ; à 24 jetons, A a gagné. Continuer à appliquer les transitions après l’une de ces valeurs changerait le problème posé.

L’espérance mathématique prolonge le cadre historique évoqué par Huygens : elle associe une valeur moyenne aux résultats possibles, pondérés par leurs probabilités.

L’article Quand l'espérance mathématique se fait paradoxale montre pourquoi une moyenne probabiliste peut demander davantage de prudence que le seul calcul d’une chance de gagner.