Probabilités et statistiquesThéorème · Glossaire
paradoxe de Saint-Pétersbourg
Le paradoxe de Saint-Pétersbourg concerne un jeu de lancers indépendants d'une pièce équilibrée jusqu'au premier pile : s'il survient au k-ième lancer, le gain est de 2^k euros, sans plafond ni défaut de paiement. Chaque issue ajoute 1 euro à l'espérance, donc infinie, alors qu'un agent rationnel ne paierait généralement pas une somme illimitée. Il montre que l'espérance monétaire ne suffit pas à décider : une utilité adaptée, souvent marginalement décroissante et liée au patrimoine, peut conduire à un prix fini.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Recalculer la contribution de chaque rang à l’espérance.
- Identifier les hypothèses qui rendent l’espérance infinie.
- Distinguer espérance monétaire, espérance d’utilité et prix acceptable.
- Reconnaître l’effet d’un plafond ou d’une troncature.
En clair
Imaginez une pièce lancée jusqu’au premier pile. Un pile immédiat rapporte 2 €, un pile au deuxième lancer 4 €, au troisième 8 €, et ainsi de suite. Chaque gain double, mais sa chance d’arriver est divisée par deux.
Chaque rang ajoute donc exactement 1 € à l’espérance du jeu. La somme de ces contributions est infinie, alors que les gains gigantesques sont extraordinairement rares. Le paradoxe est ce décalage entre une moyenne théorique infinie et le prix limité qu’une personne accepte raisonnablement de payer.
Définition
Le paradoxe de Saint-Pétersbourg appartient à la théorie des probabilités et à la théorie de la décision. Dans son jeu canonique, une pièce équilibrée est lancée jusqu’au premier pile. Le rang du premier pile est noté k. L’événement exige k − 1 faces puis un pile : sa probabilité vaut 1/2k, tandis que le gain vaut 2k euros.
L’espérance monétaire additionne, pour tous les rangs possibles, la probabilité multipliée par le gain. Chaque terme vaut 1 €, de sorte que la série diverge : . Pourtant, un agent ne consent généralement pas à payer un prix immense pour participer, car les gains qui portent cette espérance ont des probabilités infimes.
Daniel Bernoulli a proposé vers 1738 de remplacer le gain par l’utilité que l’agent lui attribue. Une utilité marginale décroissante donne moins de poids aux euros supplémentaires quand la richesse augmente. Le prix acceptable dépend alors des préférences et de la situation patrimoniale, et non de la seule espérance monétaire.
Le principe
Si une pièce équilibrée est lancée jusqu’au premier pile et si le gain est de 2k euros lorsque ce pile arrive au rang k, alors le gain a une espérance infinie. En effet, la probabilité du rang k est 2−k et sa contribution à l’espérance vaut toujours 2−k × 2k = 1 €. La somme comporte une infinité de contributions égales à 1 €. Cette conclusion porte sur l’espérance monétaire, pas sur le prix qu’un joueur doit accepter.
Quand l'utiliser
Le calcul canonique suppose une pièce équilibrée, des lancers répétés jusqu’au premier pile, un gain exactement égal à 2k euros au rang k et aucune borne sur le nombre de lancers ni sur le paiement. Ces hypothèses déterminent à la fois les probabilités et les gains.
Si le nombre de lancers ou le gain maximal est plafonné, l’espérance monétaire devient finie : il faut alors calculer le jeu tronqué réellement proposé. Si la pièce n’est pas équilibrée ou si le barème ne double pas à chaque rang, les termes ne valent plus nécessairement 1 € ; il faut reprendre le produit « probabilité × gain ».
Un exemple, pas à pas
On examine les quatre premiers rangs du jeu canonique. La pièce est équilibrée, le premier pile arrête les lancers et le gain au rang k vaut 2k euros.
1. Au premier lancer, la probabilité est 1/2 et le gain 2 € : la contribution est (1/2) × 2 € = 1 €.
2. Au deuxième lancer, la suite face-pile a une probabilité de 1/4 et rapporte 4 € : (1/4) × 4 € = 1 €.
3. Aux troisième et quatrième rangs, les produits sont encore (1/8) × 8 € = 1 € et (1/16) × 16 € = 1 €. Les quatre premières branches sont représentées avec leurs trois valeurs vérifiables.
4. Le sous-total des quatre contributions vaut exactement 4 €. Le contrôle consiste à recalculer chaque produit : la probabilité est toujours l’inverse du gain numérique.
5. Le même calcul vaut pour tout rang k. Comme il n’existe aucun dernier rang, ajouter toujours 1 € produit une espérance infinie, même si la probabilité d’atteindre les rangs lointains devient infime.
En pratique
Pour évaluer un jeu risqué, l’espérance monétaire décrit le gain moyen théorique, mais elle ne suffit pas toujours à fixer une mise raisonnable. Lorsque les gains rares pèsent démesurément, l’espérance d’utilité tient compte de la valeur que chaque niveau de richesse a pour la personne.
Pour une loterie, une faible mise peut rester rationnelle si la chance infime d’un gain transformant la vie reçoit une forte utilité subjective. Le bon critère n’est donc pas seulement « gain moyen supérieur à la mise », mais l’utilité espérée compte tenu de la situation patrimoniale.
Face à un jeu réellement proposé, il faut aussi vérifier les plafonds de paiement et le nombre maximal de tours. Dès qu’une borne existe, le modèle canonique à espérance infinie doit être remplacé par le calcul du barème effectif.
À ne pas confondre
Espérance monétaire et espérance d’utilité. La première moyenne des sommes d’argent ; la seconde moyenne la valeur subjective associée à ces sommes. Dans le jeu canonique, l’espérance monétaire est infinie, tandis que l’approche de Bernoulli peut conduire à une évaluation finie.
Gain maximal et gain moyen. Le paradoxe ne dit pas qu’un joueur reçoit effectivement une somme infinie. Chaque partie s’arrête au premier pile avec un gain fini ; c’est la moyenne théorique sur tous les rangs possibles qui diverge.
Limites et pièges
Jeu plafonné. Si le paiement ne peut dépasser 16 €, les rangs à partir de 5 ne suivent plus le barème canonique. L’espérance doit être recalculée avec ce plafond ; annoncer une espérance infinie serait faux.
Troncature oubliée. Les quatre premiers rangs apportent 4 €, mais ce sous-total n’est pas l’espérance du jeu complet. Le symptôme est l’arrêt arbitraire d’une somme qui n’a aucun dernier terme. Il faut annoncer la troncature ou étudier la série entière.
Concavité invoquée trop vite. Une utilité marginale décroissante exprime l’aversion au risque, mais il faut encore vérifier que la série des utilités espérées converge pour la fonction choisie. Le mot « concave » ne remplace pas ce contrôle.
Prix rationnel présenté comme universel. L’utilité d’un même gain dépend du patrimoine et des préférences. Un prix acceptable pour une personne ne constitue donc pas une valeur unique du jeu pour tous les agents.
Pour aller plus loin
L’espérance mathématique détaille la moyenne pondérée dont la divergence produit le paradoxe.
La fonction d'utilité formalise la valeur subjective des gains et l’effet d’une utilité marginale décroissante.
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