Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
problème de la Belle au bois dormant
Le problème de la Belle au bois dormant interroge la probabilité d'un tirage quand l'observatrice ignore à quel réveil elle se trouve. Une pièce équilibrée provoque un réveil si elle tombe sur face, mais deux avec amnésie du premier si elle tombe sur pile ; à chaque réveil, la Belle connaît le protocole sans connaître le jour ni le résultat. La probabilité de pile vaut alors 1/2 par exécution, ou 2/3 parmi des réveils échantillonnés uniformément : le paradoxe montre pourquoi l'unité d'échantillonnage doit être précisée.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconstituer les trois réveils possibles du protocole.
- Distinguer un tirage échantillonné d'un réveil échantillonné.
- Vérifier que le comptage par réveil donne 2/3 pour pile dans le protocole énoncé.
- Repérer l'inversion fréquente entre la probabilité de pile et celle de face.
En clair
Dimanche, une pièce équilibrée décide du programme. Face produit un seul réveil, le lundi. Pile en produit deux, lundi puis mardi, avec oubli du premier. Au réveil, la Belle connaît ces règles, mais ne sait ni le jour ni le résultat.
Le désaccord vient de la question que l'on compte. Si l'on considère d'abord le tirage, pile garde une chance sur deux. Si l'on choisit un réveil parmi tous ceux que le protocole produit, pile apparaît deux fois sur trois. Le paradoxe demande quel point de vue décrit correctement l'information de la Belle.
Définition
Le problème de la Belle au bois dormant est un paradoxe de probabilité conditionnelle et de croyance rationnelle. Une pièce équilibrée est lancée le dimanche. Face entraîne un réveil le lundi. Pile entraîne un réveil le lundi, puis un autre le mardi après une amnésie du premier. Lorsqu'elle répond, la Belle sait quel protocole est appliqué, mais ignore le jour et le résultat du tirage.
Le raisonnement dit « demi » conserve comme unité aléatoire l'expérience lancée le dimanche : parmi les deux résultats équiprobables de la pièce, un seul est pile. Le raisonnement centré sur les réveils change d'unité d'échantillonnage : un réveil possible vient de face et deux viennent de pile. Pour un réveil choisi uniformément dans ce registre, la probabilité de pile est donc .
Le débat porte ainsi sur la manière de mettre à jour une croyance avec une information d'auto-localisation temporelle. Une précaution est indispensable : dans le protocole énoncé ici, où pile produit deux réveils, le comptage par réveil donne 2/3 pour pile et 1/3 pour face. La valeur 1/3 ne peut désigner pile qu'en échangeant les étiquettes pile et face, ou en posant la question sur face.
Un exemple, pas à pas
Considérons le registre minimal des possibilités. Les données sont les suivantes : la pièce donne face ou pile avec la même probabilité ; face crée un réveil ; pile en crée deux ; la Belle ne distingue pas lundi de mardi. Le schéma rend visible cette différence de multiplicité.
1. Écrivons les réveils possibles : face-lundi, pile-lundi et pile-mardi.
2. Un échantillonnage uniforme dans ce registre contient trois réveils, dont deux associés à pile.
3. La proportion de réveils associés à pile vaut .
4. Si l'on sélectionne plutôt une exécution du protocole avant tout réveil, une seule des deux issues de la pièce est pile : la probabilité reste 1/2.
2. Un échantillonnage uniforme dans ce registre contient trois réveils, dont deux associés à pile.
3. La proportion de réveils associés à pile vaut .
4. Si l'on sélectionne plutôt une exécution du protocole avant tout réveil, une seule des deux issues de la pièce est pile : la probabilité reste 1/2.
Le contrôle consiste à compter les événements complémentaires. Dans le registre des réveils, face occupe une place sur trois, donc 1 − 2/3 = 1/3. Dans le registre des exécutions, face et pile occupent chacune une place sur deux. Les deux calculs sont cohérents, mais ils ne répondent pas au même échantillonnage.
En pratique
Devant ce paradoxe, le premier geste consiste à nommer l'unité tirée au hasard. Une exécution du protocole conserve l'équiprobabilité 1/2–1/2 ; un réveil échantillonné pondère davantage l'issue qui produit deux réveils.
Pour vérifier un argument, on dresse la liste des situations que la Belle ne peut pas distinguer : face-lundi, pile-lundi et pile-mardi. On précise ensuite comment ces situations reçoivent leur poids, au lieu de supposer qu'elles sont automatiquement équiprobables.
En théorie de la décision, le bon décompte dépend aussi de ce qui est évalué. Un gain attribué une fois par expérience appelle un calcul par tirage ; un gain attribué à chaque réveil appelle un calcul par réveil. Le critère observable est donc le moment où le gain ou la perte est comptabilisé.
À ne pas confondre
Il ne faut pas confondre la probabilité initiale du résultat et la fréquence de ce résultat parmi les réveils. Le test est l'objet effectivement sélectionné : une exécution choisie avant le protocole donne pile avec probabilité 1/2, tandis qu'un réveil choisi dans le registre face-lundi, pile-lundi, pile-mardi est associé à pile avec probabilité 2/3.
Il ne faut pas non plus confondre « être réveillée » et « apprendre que le tirage est pile ». La Belle est réveillée sous les deux résultats ; l'information disponible ne révèle donc pas directement la pièce. La difficulté vient du nombre différent de réveils produit par chaque résultat et de l'ignorance du jour.
Limites et pièges
Le piège principal est l'inversion de l'événement demandé. Avec le protocole écrit ici, pile correspond à deux réveils sur trois dans le registre, donc à 2/3 ; face correspond à 1/3. Si un calcul annonce 1/3 pour pile, il faut vérifier si les noms pile et face ont été intervertis ou si la question portait en réalité sur face.
Trois situations possibles ne signifient pas, à elles seules, trois situations équiprobables. Ce verdict suppose un échantillonnage uniforme des réveils. Si l'expérience aléatoire choisit d'abord une exécution du protocole, les deux résultats de la pièce gardent chacun un poids de 1/2 ; le mardi n'est pas une troisième issue de la pièce.
L'amnésie et l'ignorance du jour sont essentielles au problème formulé. Si la Belle sait que l'on est mardi, elle peut conclure que le tirage était pile, car face ne produit aucun réveil ce jour-là. La probabilité de pile devient alors 1. Il faut donc conditionner sur toute l'information réellement disponible.
Pour aller plus loin
La Conditionnelle (probabilité) formalise la mise à jour d'une probabilité lorsque l'information disponible est précisée.
La formule de Bayes relie probabilités conditionnelles et probabilités initiales, ce qui aide à comparer explicitement les hypothèses de pondération.
L'article Le théorème de Bayes, un outil pour le médecin montre comment une information nouvelle modifie une croyance dans une autre situation concrète.
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