Probabilités et statistiquesThéorème · Glossaire
paradoxe de Penney
Le paradoxe de Penney est un jeu où un premier joueur choisit un motif de trois résultats, puis le second choisit le sien ; une pièce équilibrée est lancée de façon indépendante jusqu’à la première apparition de l’un des motifs, qui désigne le gagnant. Les chevauchements entre tirages rendent le jeu non transitif : après avoir vu le premier motif, le second joueur peut toujours en choisir un autre qui apparaîtra avant lui avec une probabilité supérieure à 1/2.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le rôle des chevauchements entre motifs.
- Construire la réponse du second joueur pour un motif de trois symboles.
- Refaire le calcul exact donnant 3/4 à FPP contre PPF.
En clair
Imaginez une pièce lancée encore et encore. Une personne attend PPF, l’autre FPP, et le premier motif observé gagne. Les deux motifs ont pourtant trois lettres et chacun aurait une chance sur huit d’apparaître à un emplacement fixé. Malgré cette symétrie apparente, FPP gagne contre PPF trois fois sur quatre. La raison tient aux chevauchements : les derniers lancers déjà obtenus peuvent préparer un motif tout en éloignant son rival.
Définition
Le paradoxe de Penney est un résultat de non-transitivité pour des motifs binaires consécutifs. Deux joueurs choisissent des suites distinctes de trois résultats, P pour pile et F pour face. Une pièce équilibrée est ensuite lancée indépendamment autant de fois que nécessaire. Le gagnant est celui dont le motif apparaît le premier dans la suite continue des lancers.
Les huit motifs ont chacun une probabilité de 1/8 à une position fixée, mais cela ne leur donne pas des chances égales dans une course. Les suffixes déjà lus peuvent devenir les préfixes d’un motif futur. Ces chevauchements créent des probabilités conditionnelles différentes. Ainsi, FPP bat PPF avec une probabilité de 3/4.
Plus généralement, si le premier joueur annonce trois symboles, le second peut choisir le symbole opposé au deuxième, suivi des deux premiers symboles annoncés. Cette réponse bat le premier motif avec une probabilité strictement supérieure à 1/2. La relation n’est donc pas transitive : il n’existe pas de motif de trois symboles qui soit meilleur que tous les autres. Walter Penney a formulé ce paradoxe en 1969.
Le principe
Si une pièce équilibrée fournit des lancers indépendants et si un premier joueur choisit un motif de trois symboles, alors un second joueur informé de ce choix peut obtenir une probabilité de victoire supérieure à 1/2. Pour construire sa réponse, il prend l’opposé du deuxième symbole adverse, puis recopie les deux premiers symboles adverses. Face à PPF, cette règle donne FPP. Elle garantit un avantage, mais pas la même probabilité pour chaque motif initial.
Quand l'utiliser
Le résultat porte sur deux motifs distincts de longueur trois, recherchés dans une même suite continue de lancers indépendants d’une pièce équilibrée. Les lancers se poursuivent jusqu’à la première apparition de l’un des deux motifs. Pour assurer son avantage, le second joueur doit connaître le choix du premier avant d’annoncer le sien.
Si les joueurs choisissent simultanément, aucun d’eux ne peut appliquer à coup sûr la réponse adaptée au motif adverse. Avec un nombre de lancers fixé à l’avance, il peut aussi arriver qu’aucun motif n’apparaisse ; il faut alors préciser une règle de match nul ou étudier une probabilité conditionnelle. Une pièce biaisée demande enfin de recalculer les probabilités au lieu de reprendre les valeurs 3/4 et 1/4.
Un exemple, pas à pas
J choisit PPF et J’ répond FPP. La pièce est équilibrée, les lancers sont indépendants et la partie ne s’arrête qu’à l’apparition de l’un des deux motifs.
1. Si le premier lancer est F, le prochain premier couple PP complète FPP avant que PPF puisse gagner. Cette branche, de probabilité 1/2, revient donc à J’.
2. Si le premier lancer est P, on observe le lancer suivant. S’il vaut F, la situation prépare FPP ; cette branche donne encore la victoire à J’. Sa probabilité est 1/2 × 1/2 = 1/4.
3. Si les deux premiers lancers sont PP, le premier F qui suit complète PPF. Cette dernière branche revient à J et vaut également 1/4.
Au total, J’ gagne avec 1/2 + 1/4 = 3/4, contre 1/4 pour J. Le contrôle est immédiat : 3/4 + 1/4 = 1. Le raisonnement par résultats précédents exclut seulement le départ sans passé ; l’arbre traite ce départ séparément.
En pratique
Pour jouer, le premier participant écrit un motif de trois lettres P ou F. Le second applique la règle de réponse, puis les lancers sont notés sans effacer les résultats précédents : les fenêtres de trois lancers se chevauchent.
Pour vérifier une paire précise, un arbre d’états ou une petite chaîne de Markov convient mieux que le calcul isolé de 1/8. On conserve comme état le plus long suffixe déjà obtenu qui peut encore commencer PPF ou FPP.
Une simulation peut confirmer expérimentalement l’avantage sur de nombreuses parties. Elle ne remplace toutefois pas le calcul exact lorsque l’on veut distinguer un écart réel d’une fluctuation d’échantillonnage.
À ne pas confondre
Avec la probabilité d’un motif à une position fixée. PPF et FPP valent chacun 1/8 sur trois lancers déterminés. La course porte au contraire sur leur première apparition dans des fenêtres qui se chevauchent ; c’est ce critère qui produit 3/4 contre 1/4.
Avec une préférence transitive. Une relation transitive permettrait de conclure que si un motif en bat un autre, puis un troisième, le premier bat le troisième. Ici, chaque motif peut être dominé par une réponse adaptée, comme dans certains jeux de dés non transitifs.
Limites et pièges
Ne pas compter des blocs disjoints. Découper les lancers par paquets de trois ignore les motifs qui commencent dans un paquet et finissent dans le suivant. Il faut examiner toutes les fenêtres consécutives.
Traiter correctement le début. Les arguments fondés sur les lancers qui précèdent un motif ne s’appliquent pas si ce motif occupe les trois tout premiers lancers. Il faut isoler cette branche, comme dans le calcul de PPF contre FPP.
Ne pas généraliser la valeur 3/4. La règle de réponse assure plus de 1/2 avec les hypothèses données, mais l’avantage exact dépend du motif initial. Une nouvelle paire exige un nouveau calcul des chevauchements.
Conserver les hypothèses du jeu. Un biais de la pièce, une dépendance entre lancers ou un horizon fini modifie le modèle. Il faut alors reconstruire les probabilités de transition et préciser le traitement d’une partie sans gagnant.
Pour aller plus loin
Le théorème de Bayes, un outil pour le médecin montre comment une information observée transforme une probabilité, une idée centrale pour lire les états successifs du jeu de Penney.
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