paradoxe de Condorcet

Trois électeurs classent trois candidats A, B et C. Deux choisissent A plutôt que B, deux choisissent B plutôt que C, mais deux choisissent aussi C plutôt que A. Chaque duel a bien un vainqueur, pourtant les trois verdicts tournent en rond.

Ce cycle est le paradoxe de Condorcet. Il ne signifie pas que les électeurs se contredisent individuellement : chacun peut avoir un classement parfaitement cohérent. La boucle apparaît lorsque leurs préférences sont regroupées par vote majoritaire, duel après duel.

Le paradoxe de Condorcet est la possibilité qu'une préférence collective obtenue par majorité simple soit non transitive, même si chaque électeur classe individuellement les candidats de façon transitive. Une relation est transitive lorsque préférer A à B et B à C conduit à préférer A à C. Dans le paradoxe, le troisième duel donne au contraire C préféré à A.

Avec trois options A, B et C, on compare chaque paire séparément. Notons A ≻_M B lorsque plus d'électeurs préfèrent A à B que B à A. Un cycle de Condorcet apparaît si A ≻_M B, B ≻_M C et C ≻_M A. Aucune des trois options ne gagne alors ses deux duels : toute candidate victorieuse contre une autre est battue par la troisième.

Le paradoxe établit une possibilité, pas une issue inévitable de tout vote. Il montre que l'agrégation majoritaire ne conserve pas toujours la cohérence des classements individuels. Condorcet l'a énoncé en 1785 ; cette difficulté de la préférence collective est liée au théorème d'impossibilité établi par Kenneth Arrow en 1951.

Si au moins trois options sont classées par plusieurs électeurs, puis comparées deux à deux à la majorité, alors la relation collective peut former un cycle alors que chaque classement individuel est transitif.

Pour trois options A, B et C, le cycle s'écrit $A{\succ }_{M}B,B{\succ }_{M}C,C{\succ }_{M}AA\; \backslash succ\_M\; B,\backslash quad\; B\; \backslash succ\_M\; C,\backslash quad\; C\; \backslash succ\_M\; A$, où le symbole ≻_M signifie « est préféré par une majorité à ». La conclusion correcte est que la majorité par paire peut être non transitive, non que tout choix collectif forme nécessairement une boucle.

Le phénomène demande au moins trois options et des préférences individuelles assez détaillées pour décider chaque duel. Chaque personne peut classer A, B et C sans cycle ; c'est la relation collective, construite en comptant la majorité pour chaque paire, qui est susceptible de boucler.

Dans l'exemple conducteur, trois électeurs donnent une majorité nette de 2 voix contre 1 à chacun des trois duels. Avec un nombre pair d'électeurs, un duel peut finir à égalité : la relation majoritaire n'est alors pas complète sans règle de départage, et ce blocage n'est pas à lui seul un paradoxe de Condorcet.

Avec seulement deux options, on obtient au plus un duel ; aucun cycle à trois sommets ne peut apparaître. Il faut alors appliquer la règle majoritaire prévue et, en cas d'égalité, la règle de départage annoncée, plutôt que chercher un cycle de Condorcet.

Trois électeurs doivent départager A, B et C. Leurs données sont trois classements stricts :
Électeur 1 : A puis B puis C.
Électeur 2 : B puis C puis A.
Électeur 3 : C puis A puis B.

1. Comparons A et B. Les électeurs 1 et 3 placent A devant B ; l'électeur 2 place B devant A. A gagne donc par 2 voix contre 1.

2. Comparons B et C. Les électeurs 1 et 2 placent B devant C ; l'électeur 3 choisit C. B gagne à son tour par 2 voix contre 1.

3. Comparons enfin C et A. Les électeurs 2 et 3 placent C devant A ; seul l'électeur 1 préfère A. C gagne encore par 2 voix contre 1. Le diagramme rassemble ces trois résultats majoritaires.

Le résultat est le cycle A bat B, B bat C, C bat A. Pour contrôler le calcul, relisons chaque classement : chacun contribue exactement à deux des trois majorités annoncées, soit 6 voix favorables au total sur les trois duels. Aucun candidat ne gagne contre les deux autres.

Dans une élection ou un comité, on peut dresser les résultats de tous les duels. Si les flèches forment une boucle, annoncer un « meilleur choix selon la majorité » sans préciser de règle supplémentaire serait trompeur. Il faut appliquer la procédure de décision annoncée.

Pour vérifier qu'un candidat est vainqueur de Condorcet, on compte ses duels gagnés. S'il bat chaque adversaire, la boucle de l'exemple n'existe pas autour de lui ; si personne n'y parvient, une autre règle de sélection ou de départage devient nécessaire.

Pour comparer des procédures de vote, le bon geste consiste à leur soumettre le même profil de classements. Le cycle à trois électeurs révèle alors comment chacune traite l'absence de vainqueur majoritaire incontestable, sans confondre cette réponse avec la préférence collective elle-même.

Un vainqueur de Condorcet bat chacun de ses adversaires en duel. Dans l'exemple, A bat B mais perd contre C : A n'est donc pas un tel vainqueur, et aucun des deux autres ne l'est davantage. Le paradoxe désigne précisément le cycle, pas un candidat.

Un scrutin à la pluralité compte les premiers choix, tandis que le paradoxe compare toutes les paires. Ici, A, B et C reçoivent chacun une première place : ce triple ex æquo ne prouve pas le cycle. Celui-ci est établi par les trois décomptes à 2 voix contre 1.

Le théorème d'Arrow n'est pas un autre nom du paradoxe de Condorcet. Le cycle fournit un exemple de difficulté pour agréger les préférences ; le théorème d'Arrow porte sur l'impossibilité de satisfaire simultanément plusieurs critères de rationalité collective.

Une majorité cyclique est possible, non automatique. Si tous les électeurs classent A devant B et B devant C, la majorité classe aussi A devant C. Il faut calculer les trois duels avant de conclure à un paradoxe.

Une égalité dans un duel ne constitue pas le cycle strict A bat B, B bat C, C bat A. Avec quatre électeurs donnant 2 voix à A et 2 à B, le symptôme est une paire indécise ; il faut conserver l'égalité ou appliquer une règle de départage explicitement prévue.

L'ordre d'organisation des duels peut devenir décisif lorsqu'une procédure élimine une option après chaque vote. Le cycle reste le même, mais le gagnant de cette procédure peut varier avec l'ordre retenu. Il faut donc distinguer le profil des préférences de la règle qui transforme ce profil en décision.

La cohérence de chaque électeur n'est pas réfutée par la boucle collective. Les trois classements de l'exemple sont transitifs. Chercher une contradiction à l'intérieur d'un bulletin manquerait le mécanisme : il faut comparer quels électeurs composent la majorité d'un duel à l'autre.

Le passage du cycle à une théorie générale du choix collectif conduit au théorème d'Arrow. Il précise pourquoi plusieurs exigences raisonnables imposées simultanément à une procédure d'agrégation entrent en conflit.

On peut aussi représenter les résultats deux à deux par un graphe orienté : chaque option est un sommet et chaque victoire majoritaire une flèche. Chercher un cycle ou un sommet qui bat tous les autres devient alors une question de structure du graphe.