paradoxe d'Ellsberg

Imaginez une urne de 90 boules. Vous savez que 30 sont rouges, mais vous ignorez comment les 60 autres se partagent entre jaune et noir. Pour un premier gain, beaucoup préfèrent miser sur rouge plutôt que sur jaune : une chance connue sur trois paraît plus rassurante. Pour un second gain, ils préfèrent pourtant jaune ou noir à rouge ou noir. Ils choisissent encore la probabilité connue, car jaune ou noir désigne exactement les 60 boules non rouges. Ce changement révèle une aversion à l’ambiguïté.

Le paradoxe d’Ellsberg décrit un renversement de préférences face à des probabilités partiellement inconnues. Dans l’urne canonique, 30 boules sur 90 sont rouges. Les 60 autres sont jaunes ou noires, sans que leur répartition soit donnée. Le pari A gagne sur rouge et le pari B sur jaune. Le pari C gagne sur rouge ou noir, tandis que le pari D gagne sur jaune ou noir.

Les probabilités de A et D sont connues : 1/3 pour A et 2/3 pour D. Celles de B et C dépendent du nombre inconnu de boules jaunes. Le choix fréquent A plutôt que B, puis D plutôt que C, favorise donc dans chaque série le pari dont la probabilité est déterminée. Cette préférence pour une probabilité connue au détriment d’une probabilité floue est appelée aversion à l’ambiguïté.

Le paradoxe apparaît lorsqu’on exige qu’une même estimation additive des probabilités soutienne les deux choix, avec des gains identiques. Comparer A à B revient à comparer rouge à jaune. Comparer C à D revient encore à comparer rouge à jaune, puisque noir est gagnant dans les deux paris. La préférence devrait donc garder le même sens, alors que les choix observés le renversent.

Soit y le nombre inconnu de boules jaunes ; le nombre de boules noires vaut alors 60 − y. Avec un même gain pour chaque pari, une probabilité additive donne : Préférer A à B impose y < 30. La même inégalité impose alors de préférer C à D. Le couple de choix A puis D ne peut donc pas provenir d’une unique valeur de y dans ce modèle.

Le raisonnement porte sur un tirage uniforme parmi 90 boules, avec 30 rouges exactement et 60 jaunes ou noires en répartition inconnue. Les quatre paris doivent verser le même gain lorsque leur événement se réalise et rien sinon. Les deux choix doivent aussi être attribués à la même personne, avec la même information sur l’urne. Dans ce cadre, la couleur noire peut être retranchée de la seconde comparaison puisqu’elle fait gagner C et D.

Contre-cas : si le nombre de boules jaunes est révélé avant les choix, les quatre probabilités deviennent connues. L’opposition entre risque connu et ambiguïté disparaît ; il suffit alors de comparer les probabilités de gain. De même, si les gains diffèrent selon les paris, une préférence peut venir du montant promis plutôt que de l’incertitude. Il faut égaliser les conséquences avant d’attribuer le renversement à l’aversion à l’ambiguïté.

Données. L’urne contient 90 boules : 30 rouges, y jaunes et 60 − y noires. Une boule est tirée uniformément. Chaque pari promet le même gain. On observe la préférence A plutôt que B, puis D plutôt que C.

1. A gagne sur les 30 boules rouges. Sa probabilité vaut 30/90 = 1/3. B gagne sur les y boules jaunes, soit une probabilité inconnue y/90.

2. Préférer A à B dans un modèle probabiliste additif signifie 30/90 > y/90, donc y < 30.

3. C gagne sur rouge ou noir : il couvre 30 + (60 − y) = 90 − y boules. D gagne sur jaune ou noir : il couvre les 60 boules non rouges.

4. Puisque y < 30, on a 90 − y > 60. La préférence pour A entraîne C plutôt que D. Choisir D renverse la comparaison, car D offre une probabilité connue de 60/90 = 2/3.

Contrôle. La couleur noire est ajoutée aux deux événements de la seconde série. Elle ne peut pas, dans le modèle additif, inverser l’ordre entre rouge et jaune. La figure rapproche cette composition du renversement A puis D.

Devant deux décisions, commencez par séparer le risque de l’incertitude. Une loterie dont toutes les probabilités sont connues relève du risque ; une option dont plusieurs compositions restent compatibles avec les données comporte de l’ambiguïté. Ce diagnostic évite de traiter une probabilité inconnue comme une probabilité simplement faible.

Pour repérer un effet d’Ellsberg, comparez des choix qui partagent une même conséquence ou un même événement. Si l’ajout aux deux paris d’un même événement, disjoint des deux événements comparés, inverse la préférence, une unique distribution additive ne peut pas rendre compte des deux réponses. Il faut alors signaler l’ambiguïté au lieu de fabriquer une probabilité précise.

Lorsque des données supplémentaires révèlent la composition de l’urne, recalculer les quatre probabilités devient préférable au raisonnement par ambiguïté. Le critère observable est simple : si chaque couleur possède un effectif connu, le problème redevient une comparaison de risques chiffrés.

Aversion à l’ambiguïté et aversion au risque. L’aversion au risque concerne une loterie dont les probabilités sont connues ; l’aversion à l’ambiguïté apparaît quand elles sont incomplètement déterminées. Dans l’urne, A et D ont des probabilités connues, tandis que B et C dépendent de la composition jaune-noir.

Probabilité inconnue et probabilité nulle. Ignorer le nombre de boules jaunes ne signifie pas qu’il n’y en a aucune. Une urne composée de 30 rouges et 60 jaunes respecte les données, tout comme une urne composée de 30 rouges et 60 noires. L’information disponible ne choisit pas entre ces cas.

L’incohérence dépend du modèle. Le renversement A puis D n’est pas une contradiction formelle entre deux phrases. Il est incompatible avec une même probabilité additive et des gains identiques. Pour conclure, il faut donc annoncer ce cadre au lieu de qualifier tout choix prudent d’irrationnel.

Cas charnière : 30 jaunes. Si y = 30, A et B ont chacun une probabilité 1/3, tandis que C et D ont chacun une probabilité 2/3. Une préférence stricte ne vient alors pas des probabilités de succès ; il faut rechercher une autre différence entre les paris.

Composition révélée. Dès que y est connu, B et C cessent d’être ambigus. Le symptôme est la possibilité de chiffrer les quatre probabilités sans intervalle ni hypothèse supplémentaire. Il faut alors comparer ces valeurs plutôt qu’invoquer le paradoxe.

Gains ou informations différents. Si un pari paie davantage, ou si l’urne change entre les deux séries, l’addition du noir n’est plus la seule modification. Il faut remettre les conséquences et l’information à niveau avant d’interpréter un renversement comme de l’aversion à l’ambiguïté.

Expérience aléatoire. Replacer le tirage d’une boule dans le vocabulaire des issues, des événements et des probabilités.

paradoxe de Monty Hall. Comparer l’ambiguïté d’Ellsberg à un paradoxe où le protocole fixe des probabilités calculables.