théorie de l'utilité espérée

Imaginez deux enveloppes. La première contient 40 € à coup sûr. La seconde donne une chance sur deux de recevoir 100 €, sinon rien. Le gain moyen de la seconde est plus grand, mais cela ne suffit pas toujours à la rendre préférable.

La théorie de l'utilité espérée attribue à chaque gain une valeur de satisfaction, puis fait la moyenne de ces valeurs en tenant compte des probabilités. Elle traduit ainsi le fait que gagner 100 € n'est pas nécessairement deux fois plus utile que gagner 50 €.

La théorie de l'utilité espérée est un modèle de choix entre des options risquées, appelées loteries. Une loterie associe à chaque résultat possible une probabilité. La fonction d'utilité, notée $uu$, traduit chaque résultat en un niveau d'utilité.

Pour des résultats notés $x_{i}x\_i$ et leurs probabilités respectives notées $p_{i}p\_i$, dont la somme vaut 1, l'utilité espérée est : Entre deux loteries, le modèle retient celle dont l'utilité espérée est la plus élevée. Cette représentation suppose que les préférences de l'agent satisfont les axiomes du cadre, notamment complétude et transitivité, continuité et indépendance.

L'utilité n'est donc pas nécessairement proportionnelle à la somme d'argent. Sa fonction n'est pas unique : une transformation affine de coefficient positif représente les mêmes préférences. L'idée d'une utilité non proportionnelle apparaît chez Daniel Bernoulli dans sa résolution du paradoxe de Saint-Pétersbourg. John von Neumann et Oskar Morgenstern ont ensuite formalisé et axiomatisé la théorie dans les années 1940.

Une personne compare deux choix. Données : le choix A rapporte 40 € avec une probabilité de 1. Le choix B rapporte 100 € avec une probabilité de 1/2 et 0 € avec une probabilité de 1/2. Sa fonction d'utilité est la racine carrée du gain en euros.

1. Pour A, l'utilité espérée est $\mathrm{EU}(A)=\sqrt{40}\approx \mathrm{6,32}\backslash operatorname\{EU\}(A)=\backslash sqrt\{40\}\backslash approx\; 6\{,\}32$.

2. Pour B, les utilités des deux résultats sont $u(100)=10u(100)=10$ et $u(0)=0u(0)=0$.

3. Leur moyenne pondérée vaut :

4. Comme 6,32 est supérieur à 5, le modèle fait préférer les 40 € certains. Le schéma synthétise ce calcul sans remplacer la comparaison numérique.

Le contrôle par l'espérance monétaire donne pourtant 40 € pour A et 50 € pour B. L'ordre s'inverse bien parce que la moyenne porte sur les utilités, pas directement sur les euros.

Pour comparer un gain certain à une loterie, on commence par lister tous les résultats et leurs probabilités. Dans l'exemple, ce geste fait apparaître l'opposition entre 40 € certains et deux issues, 0 € ou 100 €.

On applique ensuite la même fonction d'utilité à chaque résultat avant de calculer la moyenne pondérée. La comparaison porte sur 6,32 contre 5, et non sur 40 € contre 50 €.

Si la question porte seulement sur le gain moyen d'un jeu répété, l'espérance monétaire est l'outil direct. Si elle porte sur le choix d'un agent donné face au risque, sa fonction d'utilité devient le critère pertinent dans ce cadre.

Utilité espérée et espérance monétaire. La première moyenne les valeurs données par une fonction d'utilité ; la seconde moyenne directement les montants. Dans l'exemple, B a le meilleur gain moyen, 50 € contre 40 €, mais A a la meilleure utilité espérée, environ 6,32 contre 5.

Utilité d'un résultat et utilité espérée d'une loterie. La première s'applique à un résultat précis ; la seconde combine toutes les issues avec leurs probabilités. Pour B, 10 est l'utilité du gain de 100 €, tandis que 5 est l'utilité espérée du choix complet.

Probabilités ou résultats mal définis. Si une issue manque ou si les probabilités ne totalisent pas 1, le calcul ne décrit pas une loterie complète. Il faut d'abord corriger l'inventaire des issues et leur pondération.

Fonction d'utilité changée en cours de comparaison. Employer une fonction pour A et une autre pour B rend les scores incomparables. Les deux choix doivent être évalués avec une même représentation. Une transformation affine de coefficient positif appliquée aux deux conserve toutefois l'ordre des préférences.

Égalité des utilités espérées. Au seuil où deux scores sont égaux, la théorie représente une indifférence ; elle n'impose pas un vainqueur. Avec la fonction racine carrée, un montant certain de 25 € a une utilité de 5, exactement comme le choix B.

Axiomes non adaptés aux préférences observées. Si les choix d'un agent violent les conditions qui rendent possible cette représentation, maximiser une moyenne d'utilité ne suffit plus à les décrire. Il faut alors expliciter l'écart au modèle au lieu de le traiter comme une erreur de calcul.

L'espérance mathématique précise le calcul de moyenne pondérée utilisé pour combiner les issues d'une loterie.

La fonction d'utilité approfondit la transformation qui associe une valeur d'utilité à chaque résultat avant le calcul de l'espérance.