AlgèbreThéorème · Glossaire
axiome de Robbins
L'axiome de Robbins est, en théorie de la décision et en économie, l'axiome de transitivité des préférences. Il stipule que si un agent préfère A à B et préfère B à C, alors il préfère nécessairement A à C. Cet axiome est considéré comme une condition minimale de rationalité des préférences individuelles et est fondamental dans la théorie de l'utilité et dans la théorie du choix rationnel.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier deux préférences successives pour en déduire une troisième.
- Tester la transitivité sur trois sorties concrètes.
- Distinguer transitivité, complétude et intensité de préférence.
- Repérer un cycle et les faux diagnostics dus à un contexte changeant.
En clair
Imaginez trois sorties possibles : une exposition, un concert et un film. Vous choisissez l’exposition plutôt que le concert, puis le concert plutôt que le film. Un classement cohérent doit alors placer l’exposition devant le film.
Cette continuité du classement s’appelle la transitivité des préférences. Elle empêche une chaîne de préférences de se refermer en boucle et donne un ordre cohérent, qui peut rester partiel. Pour classer toute paire d’options, il faut aussi supposer les préférences complètes.
Définition
L’axiome de Robbins exprime ici la transitivité d’une relation de préférence individuelle. On note le fait qu’un agent préfère strictement l’option A à l’option B. La transitivité impose que deux comparaisons successives et orientées dans le même sens déterminent la comparaison entre leurs extrémités.
Ainsi, pour trois options A, B et C appartenant au même ensemble de choix, et entraînent . L’axiome porte sur la cohérence du classement, non sur l’intensité de chaque préférence. Il ne dit pas de combien A est préféré à B.
Cette propriété est une condition de rationalité employée en théorie de la décision, en théorie du choix rationnel et en théorie de l’utilité. Elle ne suffit toutefois pas, à elle seule, à comparer toute paire d’options : un agent peut ne pas classer A et B sans contredire la transitivité.
Le principe
Soient trois options A, B et C proposées au même agent dans un même cadre de décision. Si l’agent préfère strictement A à B et préfère strictement B à C, alors la transitivité exige qu’il préfère strictement A à C.
En notant la préférence stricte par le symbole , l’énoncé s’écrit : .
Quand l'utiliser
L’axiome s’applique à une relation de préférence définie sur un même ensemble d’options. Les deux prémisses doivent concerner le même agent, le même sens de préférence et un cadre de décision inchangé. L’option intermédiaire doit aussi être identique : c’est B qui relie la comparaison de A à B à celle de B à C.
Un cycle fournit un contre-cas concret. Si le même agent, dans un contexte inchangé, préfère strictement A à B, B à C, mais C à A, sa relation de préférence ne respecte pas la conclusion attendue entre A et C. On ne peut alors pas la représenter par un classement transitif sans réexaminer les comparaisons ou préciser si le contexte a changé.
Un exemple, pas à pas
Une personne classe trois sorties pour samedi : A est une exposition, B un concert et C un film.
Les préférences strictes données sont les suivantes : elle préfère l’exposition au concert, soit ; elle préfère le concert au film, soit .
1. Les deux comparaisons portent sur la même personne et les mêmes sorties.
2. Le concert B est l’option commune : la première comparaison arrive à B et la seconde repart de B.
3. La transitivité relie les extrémités de ces deux préférences strictes. Elle impose : l’exposition doit être préférée au film.
Le contrôle consiste à comparer directement l’exposition et le film. Si la réponse est supposée révéler une préférence stricte, une réponse en faveur du film ajouterait , formerait le cycle et révélerait l’échec de la transitivité de cette relation de préférence.
En pratique
Pour vérifier un classement personnel, on prend trois options à la fois et on compare la première à la troisième après avoir établi les deux préférences successives. Si le choix direct contredit la chaîne, il faut revoir le classement plutôt que forcer un ordre.
Dans un modèle de décision, la transitivité est adaptée lorsque l’on veut ordonner les options de façon cohérente. Si certaines paires restent réellement incomparables, une relation partielle est plus fidèle qu’un classement complet imposé.
Sur un ensemble fini, si les préférences forment un classement complet et transitif, une fonction d’utilité peut leur attribuer des nombres qui représentent leur ordre. Ce choix est pertinent lorsqu’un classement numérique est nécessaire ; la transitivité seule suffit si l’on veut seulement contrôler l’absence de contradiction dans les chaînes de préférences.
À ne pas confondre
Transitivité et complétude. La transitivité contrôle les chaînes de préférences déjà établies ; la complétude demande que toute paire soit comparable. Si A et B ne sont pas classés, la complétude échoue, mais ce seul silence ne viole pas la transitivité.
Ordre et intensité de préférence. La chaîne A préférée à B, puis B à C, fixe un ordre. Elle ne mesure ni l’écart entre A et B ni celui entre B et C. Deux classements identiques peuvent donc correspondre à des intensités ressenties différentes.
Limites et pièges
Préférences cycliques. Pour un même agent, les mêmes options et un contexte inchangé, les préférences strictes A préférée à B, B à C et C à A forment une boucle. Aucun premier choix stable ne ressort de ces trois comparaisons. Si les réponses observées sont identifiées à ces préférences strictes, il faut les vérifier ou accepter que la relation ainsi révélée n’est pas transitive.
Contexte variable. Une préférence exprimée le matin et une autre le soir ne forment pas nécessairement une seule relation. Si les circonstances, les informations ou les options ont changé, il faut préciser le contexte avant de conclure à une violation.
Absence de comparaison. Ne pas préférer A à B ne signifie pas automatiquement préférer B à A. Sans hypothèse supplémentaire, les options peuvent rester incomparables ; il faut alors conserver cette absence de classement au lieu d’inventer une préférence inverse.
Condition nécessaire, pas portrait complet. Une chaîne transitive satisfait le test de l’axiome, mais cela ne prouve pas à lui seul que toutes les décisions de l’agent sont rationnelles. Il faut examiner séparément les autres propriétés exigées par le modèle choisi.
Pour aller plus loin
La fonction d’utilité montre comment représenter un ordre de préférence par des valeurs numériques qui en respectent le sens.
L’article Optimiser la consommation prolonge la réflexion vers un problème économique où plusieurs choix doivent être comparés sous contrainte.
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