fonction d'utilité

Imaginez plusieurs paniers contenant des quantités différentes de deux biens. Une personne peut préférer un panier à un autre, ou juger les deux équivalents. Une fonction d’utilité traduit ce classement par des nombres : un nombre plus élevé signale un panier préféré.

Ces nombres ne mesurent pas nécessairement une quantité de bonheur comparable entre personnes. Ils servent d’abord à conserver l’ordre des préférences. Des paniers portant le même nombre forment une courbe d’indifférence.

Une fonction d’utilité représente les préférences d’une personne sur un ensemble de paniers. Si le panier A est au moins aussi apprécié que le panier B, leurs valeurs vérifient $U(A)\ge U(B)U(A)\; \backslash ge\; U(B)$, et réciproquement. La valeur encode donc un classement. Toute transformation strictement croissante des valeurs représente le même ordre de préférence : l’échelle est ordinale, sauf hypothèse supplémentaire.

La complétude autorise la comparaison de deux paniers et la transitivité rend ces comparaisons cohérentes. La continuité des préférences, associée aux hypothèses topologiques usuelles sur l’ensemble de consommation, assure l’existence d’une représentation continue. Pour un panier dont la quantité du bien i est notée x_i, une fonction différentiable possède une utilité marginale $\frac{\mathrm{\partial }U}{\mathrm{\partial }{x}_i}\backslash frac\{\backslash partial\; U\}\{\backslash partial\; x\_i\}$. Cette dérivée décrit la variation locale de la valeur d’utilité lorsque x_i augmente, les autres quantités restant fixes. Sa décroissance est une hypothèse courante, mais elle ne découle pas des seules préférences complètes, transitives et continues. Les paniers ayant une même valeur d’utilité forment un ensemble de niveau ; lorsque ce niveau est régulier, cet ensemble forme localement une courbe d’indifférence.

La structure réunit quatre éléments. L’ensemble de consommation contient les paniers possibles. La relation de préférence indique lesquels sont préférés ou jugés équivalents. La fonction U attribue un réel à chaque panier en respectant ce classement. Enfin, ses ensembles de niveau regroupent les paniers indifférents.

Le domaine de U dépend donc des biens et quantités autorisés, tandis que l’ordre des valeurs dépend des préférences. Quand U est différentiable, ses dérivées partielles donnent les utilités marginales. Aux points où le niveau est régulier, et lorsque la dérivée partielle servant de dénominateur est non nulle, elles permettent aussi de déterminer localement la pente d’une courbe d’indifférence. Le choix des nombres, de l’unité graphique ou du tracé ne définit pas les préférences : remplacer U par une transformation strictement croissante conserve le même classement. Ces données suffisent à comparer des paniers et, avec une contrainte de budget, à formuler un problème de choix.

Une personne classe des paniers de deux biens. La quantité du premier bien est x, celle du second est y, et les deux quantités sont positives ou nulles. Sa représentation est $U(x,y)=\sqrt{x}+\sqrt{y}U(x,y)=\backslash sqrt\{x\}+\backslash sqrt\{y\}$. On étudie le panier x = 4 et y = 9.

1. La valeur du panier est $U(4,9)=\sqrt{4}+\sqrt{9}=5U(4,9)=\backslash sqrt\{4\}+\backslash sqrt\{9\}=5$.
2. Pour x strictement positif, l’utilité marginale du premier bien est $\frac{\mathrm{\partial }U}{\mathrm{\partial }x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\backslash frac\{\backslash partial\; U\}\{\backslash partial\; x\}=\backslash frac\{1\}\{2\backslash sqrt\{x\}\}$.
3. Au panier étudié, elle vaut donc 1/4.
4. Une unité entière supplémentaire donne $U(5,9)-U(4,9)=\sqrt{5}-2\approx \mathrm{0,236}U(5,9)-U(4,9)=\backslash sqrt\{5\}-2\backslash approx\; 0\{,\}236$.

La dérivée 0,25 est une variation locale, non le gain exact d’une unité. Le contrôle consiste à comparer 0,236 et 0,25 : leur proximité est cohérente, sans les rendre égaux. La courbe d’indifférence de niveau 5 contient aussi les paniers (9, 4) et (25, 0), car chacun donne U = 5.

Pour comparer des paniers, on regarde l’ordre de leurs valeurs d’utilité. Si seul le classement importe, une autre échelle strictement croissante convient tout aussi bien qu’U.

Pour choisir sous une contrainte de budget, on formule la recherche du panier admissible qui maximise l’utilité. Un tel panier existe notamment lorsque l’ensemble admissible est compact et la fonction d’utilité continue. Si les biens ne sont pas divisibles, une comparaison directe des paniers possibles remplace le calcul différentiel.

Pour étudier l’effet d’une petite variation d’un bien, on utilise l’utilité marginale lorsque la fonction est différentiable. Pour une variation d’une unité entière, la différence exacte entre les deux valeurs d’utilité est plus appropriée.

Fonction d’utilité et utilité marginale. La première attribue une valeur à un panier entier ; la seconde est une dérivée par rapport à une quantité. Dans l’exemple, U(4, 9) vaut 5, tandis que l’utilité marginale du premier bien vaut 1/4.

Utilité et bien-être mesurable. Une représentation ordinale garantit un classement, pas une unité universelle de satisfaction. Si deux échelles strictement croissantes classent tous les paniers de la même façon, elles représentent les mêmes préférences malgré leurs valeurs différentes.

Courbe d’indifférence et contrainte budgétaire. La première réunit des paniers de même utilité ; la seconde réunit les paniers financièrement accessibles. Un panier peut appartenir à une courbe d’indifférence sans être achetable avec le budget considéré.

Au bord du domaine. Pour $U(x,y)=\sqrt{x}+\sqrt{y}U(x,y)=\backslash sqrt\{x\}+\backslash sqrt\{y\}$, la dérivée par rapport à x n’est pas finie en x = 0. Il faut alors comparer des différences d’utilité ou employer une dérivée unilatérale étendue, plutôt que substituer 0 dans la formule 1/(2√x).

Variation discrète et dérivée. L’utilité marginale décrit une variation infinitésimale. Dans l’exemple, le gain exact entre x = 4 et x = 5 vaut environ 0,236, et non 0,25. Une variation finie se calcule par différence.

Décroissance non automatique. La complétude, la transitivité et la continuité ne suffisent pas à imposer une utilité marginale décroissante. Il faut vérifier cette propriété sur la fonction choisie ou l’ajouter comme hypothèse du modèle.

Valeurs non absolues. Doubler toutes les valeurs d’une représentation positive conserve le classement, mais double les dérivées. Une valeur ou une utilité marginale isolée ne se compare donc pas entre deux échelles sans convention commune.

Une étape suivante consiste à maximiser une fonction d’utilité sous une contrainte de budget. Ce problème relie les préférences, les prix et les quantités accessibles. Lorsque U est différentiable et que la dérivée marginale placée au dénominateur est non nulle, il conduit aussi à étudier localement le taux auquel une personne accepte de substituer un bien à un autre le long d’une courbe d’indifférence.