gradient d'une fonction

Imaginez une carte où chaque point porte une température. En un point où la fonction est différentiable et où le gradient n’est pas nul, plusieurs directions sont possibles, mais l’une fait augmenter la température plus vite que toutes les autres. Le gradient est une flèche qui indique cette direction. Si le gradient est nul, le taux maximal est nul et aucune direction n’est privilégiée.

Sa longueur indique la rapidité de l’augmentation : une longue flèche correspond à une variation forte. En un point régulier où le gradient n’est pas nul et où la ligne de niveau est localement régulière, la flèche du gradient est perpendiculaire à cette ligne et pointe vers les valeurs plus élevées.

Pour passer de cette lecture géométrique au calcul, on considère une fonction réelle f, différentiable sur un ouvert d’un espace euclidien. Si elle dépend de n variables réelles x₁, …, x_n, le gradient rassemble ses dérivées partielles dans la base orthonormée formée par les vecteurs e₁, …, e_n : $\mathrm{\nabla }f=\mathrm{grad}f={\sum }_{i=1}^n\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }{x}_i}{e}_i\backslash nabla\; f=\backslash operatorname\{grad\}f=\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; x\_i\}e\_i$. En trois dimensions, ses composantes sont donc ∂f/∂x, ∂f/∂y et ∂f/∂z. Le gradient est ainsi l’opérateur différentiel vectoriel du premier ordre qui généralise la dérivée d’une fonction d’une variable.

Cette formalisation relie aussi le gradient aux variations dans une direction choisie : pour tout vecteur unitaire u, la dérivée directionnelle vaut $D_{u}f=\mathrm{\nabla }f\cdot uD\_u\; f=\backslash nabla\; f\backslash mathbin\{\backslash cdot\}u$. Il intervient notamment pour des champs de température, de pression ou de concentration. Comme la divergence et le rotationnel, c’est un opérateur différentiel linéaire : le gradient d’une combinaison linéaire de fonctions est la même combinaison de leurs gradients.

Cinq éléments construisent un gradient. Il faut d’abord un domaine ouvert et un point intérieur, afin d’autoriser de petits déplacements dans toutes les directions. Une fonction réelle associe ensuite une valeur à chaque point. Sa différentiabilité fournit une dérivée partielle selon chaque coordonnée. Une base orthonormée associe enfin chaque dérivée partielle à une direction unitaire ; leur assemblage forme le vecteur gradient.

Les composantes dépendent donc des coordonnées et de la base choisies, tandis que le vecteur géométrique dépend aussi de la structure euclidienne qui mesure longueurs et angles. La couleur, l’échelle graphique ou le tracé d’une flèche ne définissent pas le gradient. Les dérivées et la base suffisent à calculer sa direction, sa norme et toute dérivée directionnelle.

Une carte modélise la température T, en degrés Celsius, à partir des coordonnées x et y mesurées en kilomètres : $T(x,y)=20-x^2-2y^{2}T(x,y)=20-x^2-2y^2$. Le point étudié a pour coordonnées x = 1 km et y = 1 km. La carte de niveaux rend visibles les valeurs constantes et la direction locale du gradient.

1. La température au point vaut T(1, 1) = 20 − 1 − 2 = 17 °C.

2. Les dérivées partielles sont ∂T/∂x = −2x et ∂T/∂y = −4y. Au point (1, 1), les deux composantes valent −2 et −4 °C/km.

3. Le gradient est $\mathrm{\nabla }T(1,1)=(-2,-4)\backslash nabla\; T(1,1)=(-2,-4)$ °C/km. Il pointe vers la gauche et deux fois plus fortement vers le bas dans le repère choisi, donc vers les températures croissantes.

4. Sa norme vaut $\parallel \mathrm{\nabla }T(1,1)\parallel =\sqrt{(-2{)}^2+(-4{)}^2}=\sqrt{20}\approx \mathrm{4,47}\backslash lVert\backslash nabla\; T(1,1)\backslash rVert=\backslash sqrt\{(-2)^2+(-4)^2\}=\backslash sqrt\{20\}\backslash approx4\{,\}47$ °C/km. Dans la direction unitaire du gradient, la température augmente donc localement d’environ 4,47 °C par kilomètre.

Le contrôle consiste à prendre la direction opposée : la dérivée directionnelle y vaut −√20 °C/km. Le même déplacement infinitésimal y fait donc diminuer la température au taux maximal.

Sur une carte de température, de pression ou de concentration décrite par une fonction, le gradient indique où la valeur augmente le plus vite. Si l’on ne dispose que de mesures sur une grille, on estime plutôt les dérivées par différences finies.

Pour chercher un minimum d’une fonction, les méthodes de descente avancent dans la direction opposée au gradient. Un gradient presque nul signale un point stationnaire ; il ne garantit pas à lui seul que ce point soit un minimum.

En un point où la fonction est différentiable et où le gradient n’est pas nul, une courbe ou une surface de niveau localement régulière admet le gradient comme vecteur normal. Cette propriété est utile lorsque l’objet est donné implicitement ; un vecteur tangent est préférable lorsque l’on veut décrire un déplacement qui reste sur le même niveau.

Dérivée partielle. Elle mesure la variation selon une seule coordonnée et produit un nombre. Le gradient réunit toutes les dérivées partielles en un vecteur. Pour T(x, y), ∂T/∂x est une composante, tandis que ∇T possède deux composantes.

Dérivée directionnelle. Elle mesure la variation dans une direction choisie et produit un nombre. Le produit scalaire du gradient avec cette direction la donne. Deux directions différentes peuvent donc donner deux dérivées directionnelles à partir du même gradient.

Divergence et rotationnel. Le gradient agit sur une fonction scalaire et produit un champ vectoriel. La divergence et le rotationnel agissent sur un champ vectoriel ; la première produit un scalaire, le second un vecteur en dimension trois. Le type de l’entrée et celui de la sortie tranchent la confusion.

Point non différentiable. Une pointe ou une cassure peut empêcher l’existence d’une direction linéaire unique. Pour f(x, y) = |x| + y², le gradient classique n’existe pas lorsque x = 0. Dans un problème convexe, un sous-gradient peut alors remplacer le gradient.

Gradient nul. Une norme égale à 0 caractérise un point stationnaire, pas nécessairement un maximum ou un minimum. La fonction f(x, y) = x³ + y² a un gradient nul à l’origine sans y avoir d’extrémum. Il faut étudier les termes d’ordre supérieur ou les valeurs voisines.

Coordonnées non orthonormées. La simple liste des dérivées partielles donne les composantes du gradient seulement dans une base cartésienne orthonormée. En coordonnées polaires ou curvilignes, des facteurs d’échelle interviennent. Il faut utiliser la métrique du repère plutôt que recopier la formule cartésienne.

Données discrètes ou bruitées. Des valeurs relevées en quelques points ne définissent pas directement un gradient différentiel. Des différences finies ou un modèle ajusté fournissent une estimation, sensible au pas et au bruit. Il faut annoncer cette approximation au lieu de présenter le résultat comme un gradient exact.

Dérivée partielle. Cette notion détaille le calcul de chaque composante du gradient lorsqu’une seule variable change à la fois.

Rotationnel. Cette fiche présente un autre opérateur différentiel et aide à distinguer son entrée vectorielle de l’entrée scalaire du gradient.

Sous-gradient. Ce prolongement traite certaines fonctions convexes non différentiables, pour lesquelles le gradient classique manque au point étudié.