champ de vecteurs

Imaginez une carte où une petite flèche est plantée en chaque point. Dans un courant d’eau, elle indique la direction du mouvement et sa longueur peut représenter la vitesse. L’ensemble de ces flèches forme un champ de vecteurs.

Les flèches ne sont pas choisies indépendamment : elles varient sans saut si le champ est continu, et plus régulièrement encore s’il est différentiable. En suivant leur direction là où elles sont non nulles, on obtient des trajectoires possibles du mouvement ; un point où le champ s’annule peut rester immobile.

Soit une variété différentielle nommée V. À chaque point p de cette variété est attaché un espace tangent, noté $T_{p}VT\_pV$. Un champ de vecteurs X choisit, pour chaque p, un vecteur $X(p)\in T_{p}VX(p)\backslash in\; T\_pV$. Il s’agit donc d’une section du fibré tangent : la projection du vecteur choisi ramène exactement au point où il est attaché.

La régularité demandée dépend du problème. Un champ peut être continu, mais l’étude classique des équations différentielles suppose souvent qu’il est différentiable. Dans le plan, tous les espaces tangents s’identifient naturellement à ℝ² : le champ peut alors s’écrire avec deux fonctions coordonnées. Sur une variété courbe, les espaces tangents changent avec le point ; il ne faut pas les remplacer globalement par un unique espace vectoriel sans disposer d’une identification particulière.

Une courbe paramétrée γ est une courbe intégrale lorsque sa vitesse coïncide avec le champ au point parcouru : ${\gamma }^{\mathrm{\prime }}(t)=X(\gamma (t))\backslash gamma\text{'}(t)=X(\backslash gamma(t))$. Ces courbes décrivent les orbites locales du système. Un point où $X(p)=0X(p)=0$ est une singularité, aussi appelée point d’équilibre.

Dans le plan muni des coordonnées x et y, considérons le champ $F(x,y)=(-y,x)F(x,y)=(-y,x)$. Les données sont un point initial (1, 0), un paramètre de temps t et la condition initiale $\gamma (0)=(1,0)\backslash gamma(0)=(1,0)$.

1. Calculer le vecteur au départ donne $F(1,0)=(0,1)F(1,0)=(0,1)$ : la trajectoire part vers le haut.
2. Poser $\gamma (t)=(\cos t,\sin t)\backslash gamma(t)=(\backslash cos\; t,\backslash sin\; t)$ fournit bien la position initiale demandée.
3. Dériver cette courbe donne ${\gamma }^{\mathrm{\prime }}(t)=(-\sin t,\cos t)\backslash gamma\text{'}(t)=(-\backslash sin\; t,\backslash cos\; t)$.
4. Évaluer le champ sur la courbe donne le même vecteur : $F(\gamma (t))=(-\sin t,\cos t)F(\backslash gamma(t))=(-\backslash sin\; t,\backslash cos\; t)$.

La courbe est donc une trajectoire du champ et parcourt exactement le cercle unité dans le sens antihoraire. Un contrôle indépendant consiste à dériver $x(t{)}^2+y(t{)}^{2}x(t)^2+y(t)^2$ : le résultat vaut 0, donc la distance à l’origine reste égale à 1. La figure représente cette tangence et le vecteur nul au centre.

En mécanique des fluides, le champ de vitesse associe une vitesse à chaque position. On suit ses courbes intégrales pour décrire le mouvement instantané ; si seule une température est attachée à chaque point, un champ scalaire suffit.

Pour un système d’équations différentielles autonomes, le champ indique la dérivée de l’état. Les zéros signalent des équilibres, tandis que les trajectoires montrent l’évolution depuis chaque condition initiale. Une équation dépendant explicitement du temps demande plutôt un champ dépendant du temps, ou un espace d’état augmenté.

Pour un objet et des paramètres fixés, dans un champ de forces dépendant seulement de la position, chaque flèche représente la force exercée sur cet objet au point considéré. Le choix entre une description sur le plan et sur une variété dépend des contraintes : une surface courbe impose des vecteurs tangents à cette surface.

Champ scalaire. Il associe un nombre, et non un vecteur, à chaque point. Une carte de température est scalaire ; une carte où chaque point porte une vitesse orientée est vectorielle.

Champ de vecteurs et forme différentielle. Une 1-forme différentielle agit sur les vecteurs tangents pour produire des nombres. Sans métrique ou autre structure supplémentaire, elle ne s’identifie pas naturellement à un champ de vecteurs.

Champ et trajectoire. Le champ donne un vecteur en chaque point de son domaine, et une direction lorsque ce vecteur est non nul ; une trajectoire est une seule courbe qui suit ces vecteurs. Pour $F(x,y)=(-y,x)F(x,y)=(-y,x)$, le champ couvre tout le plan, tandis que le cercle unité n’est qu’une orbite.

Vecteur nul. Si le champ s’annule en un point, aucune direction privilégiée n’y subsiste. Dans l’exemple, $F(0,0)=(0,0)F(0,0)=(0,0)$ : l’origine est une singularité et la courbe constante qui y reste est une trajectoire.

Régularité insuffisante. La continuité d’un champ peut assurer l’existence locale d’une trajectoire, mais pas son unicité. Pour garantir localement une trajectoire unique à partir d’un point, on demande couramment une condition de Lipschitz dans des coordonnées locales ; la différentiabilité de classe C¹ la fournit localement.

Existence seulement locale. Un champ régulier ne garantit pas qu’une trajectoire soit définie pour tout temps. Sur ℝ, le champ $X(x)=x^{2}X(x)=x^2$ conduit, depuis 1, à $x(t)=1\mathrm{/}(1-t)x(t)=1/(1-t)$, qui diverge lorsque t tend vers 1.

Dessin trompeur. La longueur des flèches peut être normalisée pour rendre une figure lisible. Un tel tracé conserve les directions, mais ne représente plus les normes du champ ; il faut vérifier la légende avant de comparer des intensités.

Le système dynamique prolonge l’étude des orbites, des équilibres et de leur évolution globale.

L’article Du problème des trois corps au chaos mathématique montre comment des trajectoires gouvernées par des équations différentielles peuvent produire une dynamique complexe.