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fonction de Lyapounov
Au voisinage d’un équilibre d’un système autonome, une fonction de Lyapounov est une fonction continûment différentiable, nulle à l’équilibre, strictement positive ailleurs et dont la dérivée le long des trajectoires est partout négative ou nulle. Sous les hypothèses usuelles de régularité du système, dans un voisinage admissible où les trajectoires restent contrôlées, elle se comporte comme une énergie qui ne peut croître et permet ainsi d’établir la stabilité locale sans résoudre le système. Si cette dérivée est strictement négative hors de l’équilibre, celui-ci est localement asymptotiquement stable.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la positivité de la fonction et le signe de sa dérivée à la stabilité de l'équilibre.
- Vérifier le critère pas à pas sur le système x′ = −2x avec V(x) = x².
- Distinguer stabilité, attraction asymptotique, énergie physique et simple échec d'une fonction candidate.
En clair
Imaginez une bille au fond d'un bol. Plutôt que de calculer toute sa trajectoire, on lui associe un nombre qui vaut zéro au fond et qui augmente lorsqu'elle s'en éloigne. Si ce nombre ne peut jamais croître pendant le mouvement, la bille ne s'écarte pas brusquement du fond.
Une fonction de Lyapounov joue ce rôle de jauge pour un système dynamique. Sa décroissance renseigne sur la stabilité sans obliger à résoudre les équations. Si elle diminue strictement hors de l'équilibre, elle indique aussi le retour progressif vers celui-ci.
Définition
On considère un système autonome dont l'état est un vecteur x appartenant à un domaine Ω de ℝn. Son évolution est donnée par un champ de vecteurs v, et l'état x* est un équilibre lorsque v(x*) = 0. Une fonction de Lyapounov est une fonction réelle V, continûment dérivable sur Ω, qui mesure un écart à cet équilibre.
Elle vaut zéro à l'équilibre et reste strictement positive en tout autre état du domaine considéré. Le long d'une trajectoire, sa dérivée temporelle est le produit scalaire de son gradient avec le champ de vecteurs : . Pour servir de certificat de stabilité, cette quantité doit être négative ou nulle.
Sous les hypothèses usuelles de régularité du champ, ces conditions montrent que l'équilibre est localement stable lorsqu'elles sont vérifiées dans un voisinage admissible de x* contenant un sous-niveau suffisamment petit de V, de sorte que les trajectoires considérées ne quittent pas le domaine contrôlé. Si la dérivée y est strictement négative pour tout x distinct de x*, l'équilibre est localement asymptotiquement stable : les trajectoires suffisamment proches convergent vers lui. La valeur de V peut s'interpréter comme une énergie généralisée, mais la fonction n'a pas besoin d'être une énergie physique.
De quoi c'est fait
Cinq éléments forment le certificat. Le domaine Ω fixe les états sur lesquels les conditions sont contrôlées. Le point x* est l'équilibre de référence. Le champ v donne la direction du mouvement en chaque état. La fonction scalaire V associe un niveau non négatif à chaque écart, nul à l'équilibre et strictement positif ailleurs. La dérivée indique comment ce niveau varie pendant le mouvement.
L'équilibre détermine donc où V doit s'annuler, tandis que le champ v détermine le signe de sa variation. Ensemble, la positivité de V et la non-croissance de suffisent à établir la stabilité sous les hypothèses du critère. Le tracé des courbes de niveau aide à lire la situation, mais leur couleur, leur échelle ou leur forme graphique ne définissent pas la fonction de Lyapounov.
Un exemple, pas à pas
Considérons un état réel x régi par . Les données sont l'équilibre x* = 0, le départ x(0) = 3 et la fonction candidate V(x) = x2.
1. Positivité. On obtient V(0) = 0 et V(x) > 0 dès que x ≠ 0. La candidate mesure donc bien l'écart à l'équilibre.
2. Variation. La dérivée de V par rapport à x vaut 2x. Le long du mouvement, la règle de la chaîne donne :
3. Signe. Cette dérivée est strictement négative pour tout x ≠ 0. Le critère conclut que l'équilibre 0 est asymptotiquement stable.
4. Contrôle. La trajectoire issue de 3 est . Ainsi, : elle part de 9, vaut environ 0,165 à t = 1 et tend vers 0. Ce calcul explicite confirme la conclusion obtenue sans résoudre d'abord l'équation.
La courbe de V le long de cette trajectoire rend visible la baisse rapide de la jauge, toujours au-dessus du niveau zéro.
En pratique
Pour étudier un équilibre, on cherche d'abord une expression positive qui s'annule seulement en ce point. On calcule ensuite sa dérivée le long du champ de vecteurs. Si le signe est immédiat, cette voie évite de résoudre toutes les trajectoires. Une résolution explicite reste préférable lorsqu'elle est simple et qu'on souhaite connaître le mouvement complet.
En mécanique, une énergie ramenée à zéro à l'équilibre fournit souvent une candidate naturelle. Si elle est positive hors de l'équilibre, une énergie constante peut certifier la stabilité, mais sa conservation ne suffit pas à prouver le retour. Une décroissance stricte hors de l'équilibre est le signal utile pour conclure à l'attraction.
Pour tester une candidate, les formes quadratiques comme une somme de carrés sont un premier essai fréquent, car leur positivité se lit directement. Si la dérivée prend les deux signes, on abandonne cette candidate ou on la modifie ; ce seul échec ne permet pas de déclarer le système instable.
À ne pas confondre
Fonction de Lyapounov et trajectoire. Une trajectoire x(t) décrit l'état au fil du temps ; la fonction V attribue un nombre à chaque état. Dans l'exemple, la trajectoire est , tandis que la jauge vaut .
Fonction de Lyapounov et énergie physique. Une énergie n'est une fonction de Lyapounov pour l'équilibre étudié que si elle satisfait les conditions de positivité et de non-croissance requises. Réciproquement, une fonction de Lyapounov peut n'avoir aucune unité ni interprétation énergétique.
Stabilité et stabilité asymptotique. Pour une fonction positive définie satisfaisant les autres hypothèses du critère, une dérivée négative ou nulle établit la stabilité. Une dérivée strictement négative hors de l'équilibre conduit en plus au retour. Le cas ne suffit donc pas, à lui seul, à établir l'attraction.
Limites et pièges
Décroissance non stricte. Si , la stabilité peut être obtenue, mais pas automatiquement la convergence. Pour le système avec V(x) = x2, chaque trajectoire reste à son point de départ. Il faut alors analyser ce qui se passe sur l'ensemble où la dérivée s'annule.
Inégalité stricte à l'équilibre. Au point x*, le champ vaut zéro, donc . La condition stricte se lit uniquement pour les états distincts de l'équilibre ; l'exiger au point d'équilibre rendrait le critère impossible.
Portée du domaine. Une fonction positive et décroissante dans un voisinage prouve une stabilité locale. Elle ne donne pas une conclusion globale hors de ce voisinage. Il faut donc annoncer le domaine où les signes sont vérifiés et s'assurer que les trajectoires considérées n'en sortent pas.
Échec d'une candidate. Si une expression choisie n'est pas positive ou si sa dérivée change de signe, cette expression ne fournit pas le certificat cherché. Le symptôme invalide la preuve, pas nécessairement la stabilité du système ; il faut essayer une autre fonction ou une autre méthode.
Pour aller plus loin
Le glossaire système dynamique précise le cadre dans lequel un état évolue selon une loi.
La fiche champ de vecteurs éclaire l'objet qui fixe la direction instantanée du mouvement.
La notion de trajectoire d'un processus aide à distinguer l'évolution de l'état de la jauge qui l'accompagne.
La fiche Asymptotiquement stable (solution d'une équation différentielle) développe la différence entre maintien à proximité et retour vers l'équilibre.
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