Intégrale première

Imaginez un point qui tourne sur un cercle. Ses deux coordonnées changent sans cesse, mais sa distance au centre reste la même. Cette distance constante donne une information durable sur tout le mouvement.

Une intégrale première joue ce rôle pour un système différentiel : elle associe un nombre à chaque état, et ce nombre ne varie pas quand l'état suit une trajectoire du système. Les trajectoires restent donc sur une même courbe, ou plus généralement sur un même ensemble de niveau.

On considère un système autonome dont l'état est un vecteur $xx$ et dont le champ de vecteurs est noté $FF$. Son évolution vérifie $\dot{x}=F(x)\backslash dot\{x\}=F(x)$. Une intégrale première est une fonction non constante $II$ qui garde la même valeur le long de toute solution située dans son domaine.

Lorsque $II$ est différentiable, la règle de dérivation des fonctions composées donne le critère suivant : $\frac{d}{dt}I(x(t))=\mathrm{\nabla }I(x(t))\cdot F(x(t))=0\backslash frac\{d\}\{dt\}I(x(t))=\backslash nabla\; I(x(t))\backslash cdot\; F(x(t))=0$. Le gradient de $II$ est donc perpendiculaire au champ de vecteurs. Là où ce gradient ne s’annule pas, le mouvement est tangent aux ensembles où $II$ prend une valeur fixée.

La valeur conservée dépend de la trajectoire choisie : deux conditions initiales peuvent donner deux constantes différentes. Pour un système hamiltonien conservatif, l'énergie mécanique fournit l'exemple canonique. Là où son gradient ne s'annule pas, une intégrale première contraint le mouvement à un ensemble de niveau de dimension inférieure et facilite ainsi l'étude qualitative du système.

Considérons un oscillateur harmonique décrit par deux coordonnées réelles, $xx$ et $yy$. La première donnée est le système suivant.

Les deux autres données sont la condition initiale $(x(0),y(0))=(1,0)(x(0),y(0))=(1,0)$ et la fonction candidate $I(x,y)=x^2+y^{2}I(x,y)=x^2+y^2$.

1. Calculer le gradient de la fonction candidate : $\mathrm{\nabla }I(x,y)=(2x,2y)\backslash nabla\; I(x,y)=(2x,2y)$.

2. Effectuer le produit scalaire avec le champ du système : $(2x,2y)\cdot (y,-x)=2xy-2xy=0(2x,2y)\backslash cdot(y,-x)=2xy-2xy=0$. La valeur de $II$ est donc constante le long de chaque solution.

3. Évaluer cette constante au départ : $I(1,0)=1^2+0^2=1I(1,0)=1^2+0^2=1$. La trajectoire issue de $(1,0)(1,0)$ reste sur le cercle d'équation $x^2+y^2=1x^2+y^2=1$.

Un contrôle direct est possible avec la solution $x(t)=\cos t,y(t)=-\sin tx(t)=\backslash cos\; t,\backslash ;y(t)=-\backslash sin\; t$ : l'identité ${\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1\backslash cos^2\; t+\backslash sin^2\; t=1$ restitue la même valeur à tout instant. La figure représente cette conservation et le sens du mouvement.

Pour contrôler une fonction candidate, on la dérive le long du champ de vecteurs. Si le résultat est nul dans le domaine étudié, sa valeur est conservée sur chaque solution. Sinon, il faut chercher une autre fonction plutôt que conclure à un invariant.

Pour esquisser les trajectoires sans résoudre explicitement le système, on trace les ensembles de niveau de l'intégrale première. Le champ doit leur être tangent. Une résolution temporelle reste nécessaire si l'on veut connaître la position exacte à un instant donné.

Pour vérifier un calcul numérique, on suit la valeur de l'invariant au fil des pas. Une dérive visible signale une erreur d'approximation ou un schéma qui conserve mal la quantité ; elle ne prouve pas que le système exact la perd.

Une solution du système. Une solution donne l'état en fonction du temps. Une intégrale première associe une constante à toute trajectoire. Dans l'oscillateur, $(\cos t,-\sin t)(\backslash cos\; t,-\backslash sin\; t)$ est une solution, tandis que $x^2+y^{2}x^2+y^2$ est une intégrale première.

Une primitive. Une primitive est une fonction dont la dérivée redonne une fonction donnée. Une intégrale première est un invariant du mouvement ; elle n'est pas définie par une opération d'intégration. Le test décisif porte sur sa dérivée le long des solutions.

Fonction globalement constante. La fonction $I(x,y)=1I(x,y)=1$ reste inchangée, mais elle ne distingue aucune trajectoire. Elle est exclue par la condition de non-constance ; il faut chercher un invariant qui varie dans l'espace des états.

Annulation locale. À un point critique de $II$, le produit scalaire s'annule automatiquement ; il peut aussi s'annuler sur un seul chemin. Ces constats ne suffisent pas sur tout un domaine : il faut y vérifier l'identité point par point.

Constante propre à chaque trajectoire. Dans l'exemple, une condition initiale $(a,b)(a,b)$ impose la valeur $a^2+b^{2}a^2+b^2$. Le seuil charnière $a^2+b^2=0a^2+b^2=0$ correspond uniquement au point d'équilibre $(0,0)(0,0)$, tandis qu'une valeur positive donne un cercle.

Calcul numérique. Une valeur presque constante dans une simulation constitue un indice, pas une preuve. Il faut revenir au produit $\mathrm{\nabla }I\cdot F\backslash nabla\; I\backslash cdot\; F$ pour le système exact et interpréter les écarts selon le pas et la précision du calcul.

Le champ de vecteurs précise comment une direction de mouvement est attachée à chaque état, ce qui éclaire le critère de tangence aux niveaux de l'invariant.

Le Système différentiel linéaire prolonge l'exemple de l'oscillateur et situe les invariants dans une famille de systèmes structurés.

L'article Des équations différentielles en oncologie montre un autre contexte où des équations d'évolution servent à décrire un phénomène.