théorème de Noether

Imaginez une particule libre qui avance à vitesse constante. Décaler toute son expérience d'un mètre vers la droite ne change ni son mouvement ni les règles qui le décrivent. Cette possibilité de déplacer l'expérience sans en modifier l'action est une symétrie continue.

Le théorème de Noether associe à cette symétrie une quantité qui ne varie pas pendant le mouvement : ici, la quantité de mouvement. Le même principe relie l'indifférence à l'instant choisi à l'énergie, et l'indifférence à l'orientation à un moment cinétique conservé.

Le théorème de Noether est un résultat de mécanique analytique qui relie une symétrie continue de l'action à une loi de conservation. L'action est l'intégrale, entre deux instants, d'une fonction appelée lagrangien. Le lagrangien, noté $L(q,\dot{q},t)L(q,\backslash dot\; q,t)$, dépend des coordonnées généralisées q, de leurs vitesses $\dot{q}\backslash dot\; q$ et éventuellement du temps t. Les trajectoires physiques sont celles qui rendent l'action stationnaire.

Une symétrie continue appartient à une famille de transformations réglée par un paramètre que l'on peut faire varier sans saut. Si cette transformation laisse l'action invariante, alors une charge de Noether reste constante le long de toute trajectoire qui satisfait les équations du mouvement. Dans le cadre usuel, l'invariance par translation du temps donne l'énergie, celle par translation de l'espace donne la quantité de mouvement, et celle par rotation donne le moment cinétique.

Le résultat porte sur l'action, pas seulement sur l'apparence d'une trajectoire. Une version plus générale accepte que le lagrangien varie d'une dérivée totale : l'action ne change alors que par un terme de bord, et la grandeur conservée reçoit le terme correctif correspondant. Le théorème s'applique à des transformations continues ; une symétrie discrète, comme une réflexion isolée, ne fournit pas à elle seule une charge conservée par ce mécanisme.

En mécanique analytique, soit un système variationnel décrit par une action stationnaire et une famille différentiable de transformations admissibles. Les conditions de bord sont supposées compatibles avec ces transformations, ou les contributions de bord nécessaires sont incluses dans l'argument. Si cette famille est une symétrie continue globale de l'action, alors il existe une grandeur dont la dérivée temporelle s'annule sur les trajectoires satisfaisant les équations du mouvement.

En notant Q la charge de Noether et t le temps, la conclusion s'écrit : $\frac{dQ}{dt}=0\backslash frac\{dQ\}\{dt\}=0$. Ainsi, Q est constante au cours de l'évolution. La nature de Q dépend de la transformation : énergie pour une translation temporelle, quantité de mouvement pour une translation spatiale, moment cinétique pour une rotation.

Le cadre doit d'abord être variationnel : le mouvement est décrit par une action et les trajectoires considérées satisfont les équations qui en découlent. La transformation doit ensuite appartenir à une famille continue et dépendre assez régulièrement de son paramètre pour que sa variation infinitésimale soit définie. Enfin, l'action doit rester invariante, éventuellement à un terme de bord près dans la version généralisée.

Ces conditions doivent être vérifiées pour le modèle, en tenant compte de ses forces extérieures, de ses contraintes et de son domaine. Par exemple, une particule libre possède une symétrie de translation spatiale si les contraintes et le domaine respectent eux aussi cette translation. Si un potentiel dépend explicitement de la position, déplacer l'expérience peut modifier le lagrangien : la symétrie est alors brisée et la quantité de mouvement correspondante n'est plus garantie constante. Il faut dans ce cas calculer son évolution à partir des équations du mouvement.

Une particule libre de masse m = 2 kg se déplace sur une droite à la vitesse v = 3 m/s. Son lagrangien ne dépend pas de la position x. On compare donc le mouvement initial à celui obtenu par la translation x ↦ x + a, où a est un décalage constant.

Étape 1. La translation change x, mais pas la vitesse v. Le lagrangien cinétique garde donc la même valeur : $L=\frac{1}{2}m{v}^{2}L=\backslash frac\{1\}\{2\}mv^2$. L'action est invariante.

Étape 2. La grandeur associée à une translation spatiale est la quantité de mouvement p. Pour cette particule, elle vaut : $p=mv=2\times 3=6\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}p=mv=2\backslash times\; 3=6\backslash \; \backslash mathrm\{kg\backslash ,m\backslash ,s^\{-1\}\}$.

Étape 3. En l'absence de force extérieure et de dépendance en x, la vitesse reste 3 m/s. La quantité de mouvement reste donc 6 kg·m/s à chaque instant. Le contrôle est direct : refaire le produit 2 × 3 avant et après n'importe quel décalage a donne la même valeur.

En mécanique, on examine les coordonnées dont le lagrangien ne dépend pas explicitement. Une telle coordonnée est dite cyclique, et sa quantité de mouvement canonique conjuguée est conservée. On ne peut l'interpréter comme une translation physique que si les contraintes et le domaine sont eux aussi invariants sous la transformation correspondante. Si la coordonnée apparaît dans le lagrangien, on revient aux équations du mouvement.

Pour contrôler un modèle, on compare ses symétries annoncées aux quantités qui restent constantes. Une dérive de l'énergie dans un système supposé invariant dans le temps peut révéler une force oubliée, une dépendance temporelle ou une approximation numérique insuffisante.

Lorsqu'une symétrie simplifie le problème, sa grandeur conservée remplace une partie du calcul différentiel par une constante fixée par l'état initial. Si la symétrie est seulement approchée, cette grandeur sert plutôt d'indicateur : sa variation mesure l'effet des termes qui brisent l'invariance.

Symétrie géométrique d'une figure. Elle décrit une forme inchangée par une transformation. Le théorème de Noether exige une symétrie continue de l'action d'un système dynamique. Un carré reste identique après un quart de tour, mais cette rotation discrète isolée ne suffit pas à produire une charge de Noether.

Principe de conservation posé séparément. Une loi peut être introduite comme propriété expérimentale ou comme conséquence d'équations particulières. Le théorème de Noether explique une conservation lorsqu'une invariance continue de l'action est établie. Constater qu'une quantité reste constante ne désigne donc pas, à lui seul, la symétrie qui l'engendre.

Symétrie discrète. Une transformation disponible seulement par sauts, comme une réflexion isolée, n'a pas de paramètre infinitésimal. Le mécanisme usuel de Noether ne produit donc pas automatiquement une grandeur conservée ; il faut étudier cette symétrie par d'autres outils.

Trajectoire hors des équations du mouvement. La dérivée de la charge s'annule pour les trajectoires physiques, dites « sur la couche des solutions ». Sur une courbe arbitraire, Q peut varier sans contredire le théorème. Il faut d'abord vérifier les équations issues de l'action.

Symétrie brisée. Dans l'exemple conducteur, dès qu'un potentiel dépend de x, la translation x ↦ x + a ne laisse généralement plus le lagrangien invariant. La quantité de mouvement p n'est alors plus garantie constante ; sa variation doit être calculée avec la force.

Terme de bord. Exiger que le lagrangien lui-même reste strictement identique est parfois trop fort. S'il change d'une dérivée totale, l'action varie seulement aux extrémités et une charge corrigée peut encore être conservée. Il faut intégrer ce terme dans Q au lieu de conclure trop vite à l'absence de conservation.

Le théorème ouvre une méthode générale : rechercher les groupes continus qui agissent sur l'action, puis calculer leurs charges. Cette lecture géométrique unifie des conservations qui semblent d'abord indépendantes et prépare l'étude des symétries en théorie des champs.

Inoubliable Emmy Noether replace le résultat dans le parcours et l'héritage mathématique de la chercheuse qui l'a établi.