équation d'Euler-Poisson

Imaginez une toupie dont la pointe reste posée au même endroit. Sa vitesse de rotation, son inclinaison et l’action de la pesanteur évoluent ensemble. Les équations d’Euler-Poisson suivent précisément ces changements.

La partie d’Euler relie la rotation du solide à son moment cinétique et aux actions qui tendent à le faire tourner. La partie de Poisson suit, dans le solide, la direction de repères fixes dans l’espace. Leur réunion donne à la fois la dynamique et l’orientation du solide autour de son point fixe.

Les équations d’Euler-Poisson forment un système différentiel pour un solide indéformable ayant un point fixe. On décrit les vecteurs dans un repère lié au solide. Le vecteur ω est sa vitesse angulaire, le vecteur L son moment cinétique et le vecteur C le moment, au point fixe, des forces extérieures. L’équation d’Euler s’écrit :

Le terme en produit vectoriel corrige la dérivée parce que le repère de calcul tourne avec le solide. Si les axes choisis sont des axes principaux d’inertie, les composantes du moment cinétique vérifient $L_i=I_i{\omega }_{i}L\_i=I\_i\backslash omega\_i$, où I_i est le moment principal correspondant.

Les équations de Poisson complètent cette dynamique par la cinématique de l’orientation. Pour tout vecteur a fixe dans l’espace, ses composantes exprimées dans le repère du solide satisfont ${\frac{da}{dt}\mid }_{\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}=a\times \omega \backslash left.\backslash frac\{da\}\{dt\}\backslash right|\_\{\backslash mathrm\{solide\}\}=a\backslash times\backslash omega$. On choisit souvent pour a une direction verticale fixe, mais ce seul vecteur ne détermine pas l’attitude complète : il faut des directions indépendantes supplémentaires ou une représentation comme une matrice de rotation ou un quaternion, sauf si la rotation résiduelle est sans effet dans le cas considéré. Le système dépend donc du tenseur d’inertie, des forces extérieures et de la convention de repère ; changer le sens du produit vectoriel ou exprimer les vecteurs dans le repère spatial change l’écriture, pas le mouvement décrit.

Le système réunit cinq données essentielles. Le point fixe sert d’origine aux moments. Le repère lié au solide porte les composantes calculées. Le tenseur d’inertie transforme la vitesse angulaire ω en moment cinétique L. Le moment extérieur C traduit l’action des forces. Enfin, un ensemble suffisamment riche de vecteurs fixes indépendants dans l’espace, exprimés dans le repère mobile, code l’orientation complète ; un seul vecteur laisse indéterminée la rotation autour de sa direction.

L’inertie et la vitesse déterminent L ; L et C déterminent ensuite l’évolution dynamique. Simultanément, ω détermine l’évolution des vecteurs d’orientation par les équations de Poisson. La forme, la masse et leur répartition interviennent par le tenseur d’inertie, tandis que la couleur ou le tracé du solide ne définissent pas le système. Avec des conditions initiales compatibles et des actions extérieures données, ces éléments suffisent à calculer localement la rotation et l’orientation au cours du temps.

Considérons un solide dont le moment extérieur C est nul à l’instant étudié. Dans ses axes principaux, ses moments d’inertie sont I₁ = 2, I₂ = 5 et I₃ = 6 kg·m². Sa vitesse angulaire vaut $\omega =(2,1,0)\backslash omega=(2,1,0)$ rad·s⁻¹. Le vecteur a, fixe dans l’espace, a pour composantes initiales $a=(0,0,1)a=(0,0,1)$ dans le solide. La représentation vectorielle de cet instant montre pourquoi ω et L ne sont généralement pas parallèles.

1. Le moment cinétique se calcule composante par composante : $L=(I_1{\omega }_1,I_2{\omega }_2,I_3{\omega }_3)=(4,5,0)L=(I\_1\backslash omega\_1,I\_2\backslash omega\_2,I\_3\backslash omega\_3)=(4,5,0)$ kg·m²·s⁻¹.

2. Le produit vectoriel vaut $\omega \times L=(0,0,6)\backslash omega\backslash times\; L=(0,0,6)$ N·m. Comme C est nul, la dérivée de L dans le solide vaut donc (0, 0, −6) N·m.

3. Puisque L₃ = I₃ω₃, on obtient à cet instant ${\dot{\omega }}_3=-6\mathrm{/}6=-1\backslash dot\{\backslash omega\}\_3=-6/6=-1$ rad·s⁻². Les deux autres dérivées sont nulles à cet instant.

4. L’équation de Poisson donne $\dot{a}=a\times \omega =(-1,2,0)\backslash dot\; a=a\backslash times\backslash omega=(-1,2,0)$ s⁻¹. Le contrôle est direct : à l’instant étudié, la somme de la dérivée mobile de L et de ω × L est bien nulle puisque C y est nul.

Pour une toupie ou un gyroscope monté sur pivot, on renseigne l’inertie, l’état initial et les moments extérieurs. Le système prédit alors la rotation propre, la précession et leurs variations. Si le support se déplace sensiblement, il faut préférer un modèle qui ajoute la translation du centre de masse.

Dans une simulation, les équations servent à avancer simultanément la vitesse angulaire et l’orientation. Le contrôle observable est la conservation de la longueur d’un vecteur d’orientation fixé dans l’espace. Une dérive de cette longueur signale une erreur numérique ; une représentation par matrice de rotation ou quaternion peut alors mieux préserver l’orientation.

Lorsqu’un moment extérieur est connu, la comparaison entre trajectoire calculée et orientation mesurée permet de tester un modèle d’inertie. Si le solide se déforme, les moments d’inertie ne restent plus constants et un modèle de corps déformable devient nécessaire.

Avec les équations d’Euler des fluides. Celles-ci décrivent un champ de vitesse et de pression dans un fluide, alors que les équations d’Euler-Poisson suivent un solide indéformable autour d’un point fixe. Une vitesse définie en chaque point d’un domaine fluide tranche en faveur du premier cadre.

Avec l’équation d’Euler-Lagrange. L’équation d’Euler-Lagrange provient d’un principe variationnel appliqué à des coordonnées généralisées. Les équations d’Euler-Poisson sont ici écrites directement avec vitesse angulaire, moment cinétique, couple et orientation. La présence de dérivées d’un lagrangien distingue la formulation variationnelle.

Avec l’équation de Poisson. Une équation de Poisson scalaire relie le laplacien d’un champ à une source. Les équations de Poisson de la rotation sont vectorielles et transportent des directions fixes dans un repère mobile. Un laplacien indique donc une autre notion.

Axes non principaux. La relation L_i = I_iω_i n’est alors plus valable composante par composante : des termes croisés apparaissent. Le symptôme est un tenseur d’inertie non diagonal. Il faut employer la relation vectorielle complète entre L et ω.

Point supposé fixe à tort. Si le point d’appui se translate, la rotation seule ne décrit pas tout le mouvement. Il faut ajouter l’équation de translation et calculer les moments au point approprié.

Couple nul mal interprété. Au cas charnière où le moment extérieur C vaut 0, le moment cinétique est constant dans le repère spatial, mais ses composantes dans le solide peuvent varier. Dès que C ≠ 0, même faiblement, cette conservation exacte disparaît ; il faut intégrer le couple appliqué.

Coordonnées d’orientation singulières. Certains angles d’Euler deviennent indéterminés pour des orientations particulières, sans que le solide ait un mouvement singulier. On doit alors suivre des vecteurs de Poisson, une matrice de rotation ou un quaternion, en maintenant leurs contraintes de norme et d’orthogonalité.

L’étape suivante consiste à chercher les quantités conservées. Sans couple extérieur, le moment cinétique est fixe dans l’espace et l’énergie cinétique de rotation reste constante. Ces deux contraintes géométriques limitent les trajectoires possibles de ω dans le repère du solide.

Avec un champ extérieur, les symétries restantes peuvent encore fournir des intégrales premières. Pour le calcul numérique, une méthode qui respecte la norme des vecteurs d’orientation et l’orthogonalité du repère évite de transformer progressivement une rotation en déformation artificielle.