GéométrieNotion · Glossaire
angles d'Euler
Les angles d'Euler sont trois angles qui décrivent l'orientation d'un solide tournant autour d'un point fixe O. Ils correspondent à trois rotations successives et ordonnées : une précession ψ autour de l'axe fixe Oz, une nutation θ autour de l'axe intermédiaire Ou, puis une rotation propre φ autour de l'axe final Oz'. Le repère lié au solide est ainsi orienté par rapport au repère fixe ; l'ordre et les axes choisis font partie de la convention.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier précession, nutation et rotation propre aux trois axes successifs de la convention z–u–z'.
- Refaire un exemple avec ψ = 30°, θ = 60° et φ = 45°, puis contrôler l'inclinaison obtenue.
- Distinguer les angles d'Euler des angles de Tait-Bryan, de la représentation axe–angle et de la vitesse angulaire.
- Repérer l'ambiguïté des conventions, la périodicité et les singularités pour θ = 0° ou 180°.
En clair
Imaginez une toupie marquée d'une flèche. Pour décrire son orientation, on tourne d'abord la direction autour de la verticale, puis on incline l'axe de la toupie. Enfin, on fait pivoter la toupie autour de son propre axe.
Ces trois gestes correspondent à la précession, à la nutation et à la rotation propre. Leur ordre fait partie de la description : trois nombres isolés ne suffisent pas si l'on ignore autour de quels axes les rotations sont effectuées.
Définition
Les angles d'Euler paramètrent l'orientation d'un repère mobile lié à un solide par rapport à un repère fixe, lorsque le solide tourne autour d'un même point O. Dans la convention décrite par la source, la séquence est intrinsèque : chaque nouvel axe est obtenu par les rotations précédentes.
L'angle de précession ψ fait d'abord tourner le repère autour de l'axe fixe Oz ; l'axe Ox devient alors Ou. L'angle de nutation θ agit ensuite autour de cet axe intermédiaire Ou et incline Oz jusqu'à l'axe Oz'. Enfin, l'angle de rotation propre φ agit autour de Oz' et place les axes Ox' et Oy'. La rotation composée, appliquée de droite à gauche, s'écrit .
Cette écriture décrit une orientation, mais les valeurs numériques dépendent de la convention choisie : ordre des axes, rotations actives ou changement de coordonnées, sens positif et intervalles des angles. Il faut donc annoncer la convention avec le triplet (ψ, θ, φ). Dans la séquence z–u–z' décrite ici, les premier et troisième axes coïncident seulement dans les positions singulières où θ vaut 0° ou 180°.
Un exemple, pas à pas
Un solide part avec ses axes confondus avec ceux d'un repère Oxyz orthonormé direct. On adopte des rotations actives de sens direct et la séquence z–u–z'. Les données sont ψ = 30°, θ = 60° et φ = 45°.
1. La précession de 30° autour de Oz amène Ox sur Ou. Dans le plan horizontal, le vecteur unitaire de Ou a pour coordonnées (cos 30°, sin 30°, 0), soit (√3/2, 1/2, 0).
2. La nutation de 60° autour de Ou incline Oz en Oz'. Pour calculer le vecteur unitaire de Oz', on remplace ψ par 30° et θ par 60° dans chacune des trois coordonnées, puis on évalue les sinus et cosinus :
3. La rotation propre de 45° autour de Oz' place Ox' et Oy' sans modifier Oz'. Les trois opérations successives fixent ainsi tout le repère solidaire.
4. Le contrôle porte sur la longueur et l'inclinaison : (3/4)2 + (−√3/4)2 + (1/2)2 = 1, et le produit scalaire avec le vecteur de Oz vaut 1/2 = cos 60°. L'axe Oz' est donc bien unitaire et incliné de 60° par rapport à Oz.
En pratique
En mécanique du solide, on suit l'orientation d'une toupie ou d'un gyroscope en séparant la direction de son axe et sa rotation autour de cet axe. Les angles d'Euler sont naturels lorsque ces trois mouvements ont une signification physique distincte.
En astronomie, une orientation peut être décrite par une précession, une inclinaison et une rotation propre, à condition d'indiquer précisément le repère et la convention employés.
Pour composer quelques orientations lisibles par un humain, le triplet d'angles reste parlant. Pour accumuler de très nombreuses rotations numériques ou traverser une position singulière, une matrice de rotation ou un quaternion évite les ambiguïtés du paramétrage.
À ne pas confondre
Angles d'Euler et angles de Tait-Bryan. Dans la convention d'Euler présentée ici, la première et la troisième rotation portent sur deux positions successives d'un même axe. Une séquence lacet–tangage–roulis utilise au contraire trois axes distincts ; l'ordre annoncé permet de trancher.
Angles d'Euler et représentation axe–angle. Les premiers donnent trois rotations ordonnées autour d'axes imposés. La seconde donne un axe et un angle pour la rotation globale, sans unicité en général : l'identité admet tout axe, les angles sont périodiques et changer à la fois le sens de l'axe et le signe de l'angle décrit la même rotation. Compter les axes utilisés distingue les deux descriptions.
Angles d'Euler et vitesse angulaire. Le triplet (ψ, θ, φ) décrit une orientation, tandis que la vitesse angulaire décrit son évolution instantanée. Lorsque le solide bouge, dériver séparément les trois angles ne donne pas directement les trois composantes de la vitesse angulaire.
Limites et pièges
Convention non annoncée. Le même triplet peut produire une autre orientation si l'ordre, le sens ou le caractère actif ou passif des rotations change. Le symptôme est un résultat correct dans un logiciel et inversé dans un autre ; il faut comparer les conventions avant les valeurs.
Singularité pour θ = 0° ou 180°. Dans la séquence z–u–z', les premier et troisième axes deviennent colinéaires et l'axe intermédiaire Ou n'est plus déterminé de manière unique. Plusieurs couples (ψ, φ) décrivent alors la même orientation : il faut manipuler la rotation globale, par exemple avec une matrice ou un quaternion, plutôt que chercher un triplet unique.
Périodicité. Ajouter 360° à un angle ne change pas la rotation correspondante. Hors singularité aussi, une orientation possède donc plusieurs écritures si aucun intervalle n'est imposé ; il faut normaliser les angles dans les intervalles choisis.
Ordre interverti. Les rotations autour d'axes différents ne commutent généralement pas. Si l'orientation finale ne correspond pas à l'exemple, il faut réappliquer les étapes dans l'ordre précession, nutation, rotation propre, sans additionner 30°, 60° et 45° comme des rotations autour d'un seul axe.
Pour aller plus loin
Le glossaire quaternion présente une autre représentation des rotations, utile pour composer les orientations sans singularité de coordonnées.
La fiche précession des équinoxes montre comment un lent changement d'orientation d'un axe intervient dans un phénomène astronomique précis.
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