coordonnées paraboliques

Imaginez un point dans l’espace et l’axe vertical Oz. Les coordonnées cylindriques indiquent sa hauteur, sa distance à l’axe et sa direction autour de celui-ci. Les coordonnées paraboliques gardent cette direction, mais remplacent la hauteur et la distance à l’axe par deux nombres liés à la distance du point à l’origine.

Faire varier un seul de ces deux nombres ne dessine plus un cylindre ou un plan. Cela dessine un paraboloïde de révolution, comparable à un bol tourné autour de l’axe. Les deux nombres sélectionnent deux paraboloïdes opposés dont l’intersection situe le point à la direction angulaire près.

Les coordonnées paraboliques forment un système de coordonnées dans l’espace euclidien. Un point M possède d’abord des coordonnées cylindriques : z est sa hauteur sur l’axe Oz, r′ sa distance à cet axe et t son angle autour de l’axe. La distance de M à l’origine O est notée r. Dans la convention de cette fiche, les deux coordonnées paraboliques u et v sont définies par :La coordonnée angulaire t est conservée. Comme r est au moins égal à la valeur absolue de z, u et v sont non négatifs.

Ces définitions donnent les relations inverses et l’identité reliant la distance à l’axe :Ainsi, en coordonnées cartésiennes x, y et z, on obtient $x=\sqrt{uv}\cos tx=\backslash sqrt\{uv\}\backslash cos\; t$, $y=\sqrt{uv}\sin ty=\backslash sqrt\{uv\}\backslash sin\; t$ et $z=(u-v)\mathrm{/}2z=(u-v)/2$.

Pour une constante strictement positive, la surface u constante est un paraboloïde de révolution ouvert vers les z décroissants. La surface v constante est un paraboloïde ouvert vers les z croissants. Leur axe commun est Oz. Cette géométrie rend le système adapté aux problèmes dont les frontières ou les solutions épousent une symétrie parabolique, notamment certaines équations aux dérivées partielles.

Considérons un point M dont la hauteur cylindrique vaut z = 3, la distance à l’axe vaut r′ = 4 et l’angle t est quelconque mais fixé. Les données sont donc 3, 4 et t. Une coupe par un plan contenant Oz montre les deux paraboles dont la rotation engendre les surfaces u = 8 et v = 2.

1. La distance r de M à l’origine se calcule avec le triangle rectangle formé par z et r′ :

2. La première coordonnée parabolique vaut $u=r+z=5+3=8u=r+z=5+3=8$.

3. La seconde coordonnée parabolique vaut $v=r-z=5-3=2v=r-z=5-3=2$. Le point a donc pour coordonnées paraboliques (8, 2, t).

4. Le contrôle refait les données cylindriques : $(u-v)\mathrm{/}2=(8-2)\mathrm{/}2=3(u-v)/2=(8-2)/2=3$ et $\sqrt{uv}=\sqrt{8\times 2}=4\backslash sqrt\{uv\}=\backslash sqrt\{8\backslash times2\}=4$. La hauteur et la distance à l’axe sont exactement retrouvées.

Pour convertir un point donné en coordonnées cylindriques, on calcule d’abord sa distance r à l’origine. On forme ensuite u = r + z et v = r − z, tout en conservant l’angle t. Ce choix est utile lorsque les surfaces u ou v constantes correspondent aux frontières du problème.

En physique mathématique, une équation aux dérivées partielles peut devenir plus maniable si sa géométrie suit des paraboloïdes confocaux. Si la situation possède plutôt une symétrie autour d’un axe avec des cylindres constants, les coordonnées cylindriques restent le choix naturel.

Pour contrôler une conversion, on vérifie simultanément u − v = 2z et uv = r′². Une seule égalité ne suffit pas : la première teste la hauteur, tandis que la seconde teste la distance à l’axe.

Les coordonnées cylindriques utilisent directement la hauteur z et la distance r′ à l’axe. Les coordonnées paraboliques les remplacent par u et v. Pour r′ > 0, une surface r′ constante est un cylindre, tandis que r′ = 0 donne l’axe Oz ; dans le système parabolique, une coordonnée strictement positive constante donne un paraboloïde.

Les coordonnées sphériques repèrent un point par sa distance à l’origine et deux angles. Une distance à l’origine strictement positive constante donne une sphère, tandis que la distance nulle donne l’origine. En coordonnées paraboliques, u ou v strictement positif constant donne au contraire un paraboloïde de révolution ; une constante nulle donne une demi-droite de l’axe Oz.

Convention des paramètres. Certains ouvrages emploient comme coordonnées les racines carrées de u et v. Leurs formules comportent alors des carrés là où cette fiche écrit u et v. Avant toute conversion, il faut identifier la convention à partir des équations données.

Sur l’axe Oz. Lorsque r′ = 0, le produit uv est nul : au moins une des deux coordonnées vaut 0. L’angle t devient indéterminé, comme en coordonnées cylindriques. Il faut décrire le point par z, ou fixer une valeur conventionnelle de t sans lui donner de sens géométrique.

À l’origine. Le cas charnière u = v = 0 correspond uniquement à O. Tous les angles t y représentent le même point. Le triplet n’est donc pas unique à cet endroit.

Constante nulle. L’expression « surface u constante » ou « surface v constante » décrit un paraboloïde non dégénéré seulement pour une constante strictement positive. Pour u = 0 ou v = 0, la surface se réduit à une demi-droite de l’axe Oz.

La fiche coordonnées cylindriques détaille le système de départ et la signification de la hauteur, du rayon à l’axe et de l’angle.

La fiche paraboloïde approfondit la surface obtenue lorsqu’une coordonnée parabolique est maintenue constante.

La fiche coordonnées sphériques présente un autre système adapté aux situations organisées autour de sphères plutôt que de paraboloïdes.