Curvilignes (coordonnées)

Imaginez un point dans une pièce cylindrique. Au lieu de donner trois distances mesurées le long d'axes droits, on peut indiquer son éloignement à l'axe central, l'angle autour de cet axe et sa hauteur. Les lignes coordonnées sont alors des cercles horizontaux, des demi-droites radiales et des droites verticales ; les surfaces coordonnées comprennent notamment des cylindres, des demi-plans et des plans horizontaux.

Ces trois nombres sont des coordonnées curvilignes. Le repère épouse la forme du problème : un cylindre appelle naturellement les coordonnées cylindriques, tandis qu'une situation centrée sur un point appelle souvent les coordonnées sphériques.

Un système de coordonnées curvilignes associe à un point de l'espace un triplet de paramètres, notés ici u¹, u² et u³. Une application transforme ces paramètres en coordonnées cartésiennes : $(u^1,u^2,u^3)\mapsto (x,y,z)(u^1,u^2,u^3)\backslash mapsto\; (x,y,z)$. Lorsque deux paramètres restent fixes et que le troisième varie, le point décrit une ligne de coordonnées. Ces lignes sont généralement courbes, mais certaines peuvent être droites, comme les verticales d'un repère cylindrique.

Dans une zone où la transformation est régulière et localement inversible, les trois directions coordonnées forment une base locale. Pour un système orthogonal, le facteur d'échelle h_i mesure la longueur produite par une petite variation de uⁱ : $h_i=\parallel \frac{\mathrm{\partial }\mathbf{r}}{\mathrm{\partial }{u}^i}\parallel h\_i=\backslash left\backslash lVert\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\; r\}\{\backslash partial\; u^i\}\backslash right\backslash rVert$, où le vecteur position r relie l'origine au point. Ces facteurs expliquent pourquoi les opérateurs différentiels ne gardent pas leur écriture cartésienne.

Les coordonnées cylindriques prennent pour paramètres la distance r à l'axe, l'angle θ autour de l'axe et la hauteur z. Les coordonnées sphériques utilisent une distance au centre et deux angles. Les intervalles choisis pour les angles relèvent d'une convention ; ils doivent être annoncés pour que la représentation soit presque partout univoque. Dans un système non orthogonal, trois simples facteurs h_i ne suffisent plus : il faut employer le tenseur métrique complet.

On place un point P en coordonnées cylindriques. Les données sont sa distance à l'axe r = 2, son angle θ = π/3 radians et sa hauteur z = 3, dans un repère orthonormé cartésien.

1. On utilise les relations de passage vers les coordonnées cartésiennes x et y : $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta x=r\backslash cos\backslash theta,\backslash qquad\; y=r\backslash sin\backslash theta$. La hauteur z reste inchangée.

2. Comme cos(π/3) = 1/2 et sin(π/3) = √3/2, on obtient exactement x = 1, y = √3 et z = 3. Le point cartésien est donc P(1, √3, 3).

3. Dans ce système cylindrique, les facteurs d'échelle valent $h_r=1,h_{\theta }=r,h_z=1h\_r=1,\backslash qquad\; h\_\backslash theta=r,\backslash qquad\; h\_z=1$. Au point P, le facteur angulaire vaut donc 2 : une variation d'angle dθ contribue une longueur 2|dθ| dans la direction angulaire.

4. Le contrôle consiste à recalculer la distance à l'axe : $\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=2\backslash sqrt\{x^2+y^2\}=\backslash sqrt\{1^2+(\backslash sqrt3)^2\}=2$. On retrouve r = 2, et l'angle du point dans le premier quadrant est bien π/3.

Pour décrire un écoulement dans un tuyau droit, on choisit souvent les coordonnées cylindriques. La distance à l'axe et l'angle suivent la section circulaire ; un repère cartésien reste préférable si les parois sont rectangulaires.

Pour un champ créé autour d'un point isolé, les coordonnées sphériques séparent la distance au centre des deux directions angulaires. Ce choix est avantageux lorsque les données ne dépendent que de la distance ; sinon, il ne supprime pas la complexité angulaire.

Le bon geste consiste à repérer d'abord une symétrie géométrique, puis à écrire les facteurs d'échelle avant de calculer un gradient, une divergence, un rotationnel ou un laplacien. Si aucune symétrie n'épouse le repère choisi, les coordonnées cartésiennes peuvent rester plus simples.

Coordonnées curvilignes et coordonnées cartésiennes. Dans un repère cartésien, les trois familles de lignes coordonnées sont des droites parallèles aux axes et les facteurs d'échelle valent 1. Si les directions ou les échelles varient avec le point, on n'est plus dans ce cas cartésien.

Coordonnées curvilignes et abscisse curviligne. Une abscisse curviligne mesure une longueur le long d'une seule courbe. Un système de coordonnées curvilignes attribue plusieurs paramètres à chaque point d'une région ; le triplet (2, π/3, 3) de l'exemple en est un cas.

Système curviligne et système orthogonal. Des lignes coordonnées peuvent se croiser sous un angle autre que 90°. Constater une grille courbe ne suffit donc pas à appliquer les formules simplifiées fondées sur trois facteurs d'échelle.

Singularité sur l'axe. En coordonnées cylindriques, lorsque r = 0, l'angle θ n'est pas défini : toutes ses valeurs désignent le même point de l'axe. Il faut alors raisonner par limite ou revenir localement aux coordonnées cartésiennes.

Périodicité angulaire. Les angles θ et θ + 2π décrivent la même direction. Pour éviter plusieurs écritures d'un même point hors de l'axe, on fixe par exemple un intervalle semi-ouvert de longueur 2π ; le choix précis reste conventionnel.

Formules hors de leur domaine. Les expressions usuelles avec h₁, h₂ et h₃ supposent un système orthogonal régulier et des facteurs non nuls dans la zone étudiée. Si les directions ne sont pas orthogonales, il faut utiliser les coefficients du tenseur métrique.

Convention sphérique. Selon les ouvrages, les deux angles sphériques peuvent échanger leur nom ou leur rôle, et l'angle polaire peut être mesuré depuis un axe ou un plan. Avant tout calcul, il faut vérifier la définition et les intervalles annoncés.

Les deux systèmes classiques permettent de prolonger l'idée générale par des repères adaptés à des symétries précises.

coordonnées cylindriques : pour détailler le repérage par distance à l'axe, angle et hauteur, ainsi que le passage aux coordonnées cartésiennes.

coordonnées sphériques : pour étudier le repérage par distance au centre et deux angles dans une géométrie à symétrie centrale.