Changement de variables

Imaginez un disque quadrillé par des cercles et des rayons. Un point se décrit alors plus naturellement par sa distance au centre et par son angle que par ses coordonnées horizontale et verticale. Changer de variables revient à choisir ces deux nouveaux nombres sans changer le point étudié.

Dans une intégrale, ce nouveau quadrillage déforme les petites surfaces. Le jacobien mesure cette déformation : en coordonnées polaires, une petite case située deux fois plus loin du centre couvre environ deux fois plus d'aire. Ce facteur doit donc accompagner la substitution.

Un changement de variables remplace des variables anciennes par des variables nouvelles au moyen d'une application. Pour une intégrale double, notons u et v les nouvelles variables, et x et y les anciennes. Une application Φ associe à chaque couple (u, v) le couple (x, y). Sa matrice jacobienne rassemble les dérivées partielles de x et y par rapport à u et v ; son déterminant décrit localement le facteur d'aire et l'éventuel renversement d'orientation.

Si Φ est continûment dérivable, bijective entre les domaines considérés, avec une réciproque continûment dérivable, alors l'intégrale d'une fonction intégrable f sur le domaine D s'écrit : Le domaine D′ est celui des nouvelles variables et Φ envoie D′ sur D. La valeur absolue est indispensable pour mesurer une aire positive, même si Φ inverse l'orientation. Des versions plus générales tolèrent des exceptions de mesure nulle, mais pas un comptage multiple laissé sans correction.

Pour les coordonnées polaires, le rayon r et l'angle θ donnent $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta x=r\backslash cos\backslash theta,\backslash quad\; y=r\backslash sin\backslash theta$. Le déterminant jacobien vaut r, puisque r est non négatif. Le même principe sert à passer aux coordonnées cylindriques ou sphériques, à exprimer un objet géométrique dans un autre repère et à transformer certaines équations différentielles. Une substitution d'une seule variable est le cas à une dimension, où le facteur est la valeur absolue de la dérivée.

On veut intégrer x² + y² sur le disque unité D, centré à l'origine, où x et y sont les coordonnées cartésiennes. Les données sont : un rayon compris entre 0 et 1, un tour complet d'angle, et une fonction qui dépend seulement de la distance au centre.

1. On pose $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta x=r\backslash cos\backslash theta,\backslash quad\; y=r\backslash sin\backslash theta$. Alors x² + y² = r².

2. La matrice jacobienne et son déterminant sont : Le facteur d'aire est donc r.

3. Avec 0 ≤ r ≤ 1 et 0 ≤ θ < 2π, l'intégrale devient : La figure matérialise la transformation du quadrillage et le facteur r.

4. On calcule d'abord suivant le rayon, puis suivant l'angle :

Le résultat exact est π/2. Pour le contrôler, la valeur moyenne de x² + y² sur le disque vaut (π/2)/π = 1/2, comprise entre 0 et 1 comme l'impose la fonction.

Pour une intégrale à une variable, une substitution est utile lorsqu'une expression composée apparaît avec sa dérivée. Si ce motif manque, une intégration par parties ou une décomposition algébrique peut être plus directe.

Pour une intégrale double sur un disque ou une couronne, les coordonnées polaires alignent les bornes sur la géométrie si le pôle est choisi au centre ; pour un secteur, ses côtés doivent être des demi-droites issues de ce pôle. Sinon, les bornes polaires peuvent dépendre l'une de l'autre ou devenir plus complexes. Des coordonnées cartésiennes restent préférables pour un rectangle ou lorsque les bornes en x et y sont déjà indépendantes.

En géométrie différentielle, on change de coordonnées pour décrire le même objet dans le repère le plus commode. Dans certaines équations différentielles, une nouvelle variable dépendante ou indépendante révèle une équation connue ; le bon choix se reconnaît à une expression ou une symétrie qui se simplifie réellement.

Changement de variables et simple changement de notation. Renommer x en u ne transforme ni le domaine ni l'expression. Si u = x², la relation fonctionnelle change au contraire les valeurs et impose un facteur dérivé.

Changement de variables et intégration par parties. Le premier reparamètre l'intégrale et modifie la mesure par une dérivée ou un jacobien. La seconde déplace une dérivée entre deux facteurs ; devant une fonction composée accompagnée de sa dérivée, la substitution est le test pertinent.

Changement de coordonnées et déplacement de l'objet. Exprimer le disque unité par (x, y) ou par (r, θ) décrit le même disque. Déplacer son centre transforme l'objet lui-même, sauf si l'on change simultanément le repère pour compenser ce déplacement.

Plusieurs antécédents. Si deux couples de nouvelles variables représentent le même point sur une région de taille non nulle, l'intégrale compte cette région plusieurs fois. Il faut restreindre le domaine de paramétrage ou prendre explicitement la multiplicité en compte.

Jacobien nul. Là où le déterminant s'annule, la transformation écrase localement une direction et n'est pas un difféomorphisme. Une annulation sur un ensemble de mesure nulle peut être admissible dans un théorème adapté ; sur toute une région, la formule usuelle ne s'applique pas telle quelle.

Signe du déterminant. Un jacobien négatif signale un renversement d'orientation, pas une aire négative. Dans une intégrale de volume scalaire, on emploie la valeur absolue du déterminant ; d'autres objets orientés suivent des règles différentes.

Coordonnées polaires. Au seuil r = 0, tous les angles représentent le centre, et les angles 0 et 2π décrivent la même demi-droite. On choisit donc un intervalle semi-ouvert pour θ et l'on traite cette non-unicité, limitée à des ensembles d'aire nulle, dans le cadre précis du théorème.

Le glossaire coordonnées polaires approfondit le repérage par un rayon et un angle utilisé dans l'exemple du disque.

L'article L'intérêt des coordonnées polaires montre pourquoi ce repère épouse les problèmes dotés d'une symétrie circulaire.

Le glossaire jacobien - déterminant - isole le facteur local qui convertit les aires ou les volumes lors de la transformation.