application de Gauss

Imaginez une petite flèche plantée perpendiculairement en chaque point d'une surface. On déplace toutes ces flèches sans les tourner pour faire partir leur base du centre d'une sphère de rayon 1. Leur pointe indique alors un point de cette sphère unité. L'application de Gauss est la règle qui associe au point de départ cette direction normale. Sur une zone presque plate, les pointes restent groupées. Sur une zone très courbée, elles se dispersent davantage.

Soit une surface régulière orientée dans l'espace. Une orientation choisit continûment, en chaque point nommé p, l'un des deux vecteurs normaux unitaires. L'application de Gauss, notée N, envoie p sur ce vecteur, vu comme un point de la sphère unité notée S² : $N(p)=n(p)\in S^{2}N(p)=n(p)\backslash in\; S^2$. Pour une courbe plane régulière orientée, la construction analogue prend ses valeurs dans le cercle unité S¹.

La variation infinitésimale de N au point p, appelée différentielle et notée dN_p, agit sur le plan tangent à la surface. Son déterminant est la courbure de Gauss K au point considéré : $K(p)=\det (d{N}_p)K(p)=\backslash det(dN\_p)$. Avec la convention opposée pour l'opérateur de forme, les courbures principales changent de signe, mais leur produit K ne change pas pour une surface.

Cette définition locale exige une surface régulière et un choix de normale sur la zone étudiée. Une surface non orientable n'admet pas une application de Gauss globale à valeurs dans S², même si des choix locaux restent possibles. Remplacer la normale choisie par son opposée remplace N par −N, sans modifier la courbure de Gauss.

On rencontre l'application de Gauss dès qu'une courbe ou une surface lisse possède une direction perpendiculaire bien définie. Sur une sphère, les normales rayonnent depuis le centre. Sur un plan, elles restent toutes parallèles. Sur une selle, elles basculent dans deux sens opposés selon la direction suivie. Les marqueurs observables sont donc le point de la surface, son plan tangent, la normale choisie et la pointe de cette normale sur la sphère unité. Ce support encode l'évolution des orientations locales, pas la position ni la taille de la surface.

La grandeur recherchée est la variation de la direction normale autour d'un point. Pour la lire, on suit quatre étapes. 1. Choisissez une orientation continue de la surface. 2. Au point étudié, construisez le plan tangent puis sa normale unitaire. 3. Reportez cette direction depuis le centre de la sphère unité. 4. Comparez le déplacement de l'image à un petit déplacement tangent sur la surface ; la différentielle dN_p formalise cette comparaison.

La convention essentielle est que la normale a une longueur égale à 1 et qu'un même côté est choisi continûment. L'œil peut croire qu'une grande surface a forcément une grande courbure. Or l'application enregistre des directions, non des distances absolues : une grande sphère change ses normales plus lentement qu'une petite. Le bon réflexe consiste à comparer la variation de la normale au déplacement effectué sur la surface.

Considérons la sphère de centre O et de rayon 2, munie de l'orientation extérieure. Les données sont : son rayon vaut 2 ; le point étudié est $p=(0,0,2)p=(0,0,2)$ ; la sphère cible a pour rayon 1. Le point p appartient bien à la sphère, car la somme des carrés de ses coordonnées vaut 4.

1. Le rayon Op est perpendiculaire à la sphère au point p.
2. Sa longueur vaut 2 ; la normale extérieure unitaire est donc $N(p)=p\mathrm{/}2=(0,0,1)N(p)=p/2=(0,0,1)$.
3. La différentielle de N divise chaque vecteur tangent par 2.
4. Sur le plan tangent, son déterminant multiplie les deux facteurs : $K(p)=(1\mathrm{/}2)(1\mathrm{/}2)=1\mathrm{/}4K(p)=(1/2)(1/2)=1/4$.

La courbure de Gauss de cette sphère vaut donc 1/4 en tout point, en unité de longueur⁻². Le contrôle est refaisable avec la formule d'une sphère de rayon R, $K=1\mathrm{/}{R}^{2}K=1/R^2$ : pour R égal à 2, elle redonne 1/4. La figure rend visible la division par 2 des rayons tout en conservant leur direction.

Pour comparer localement deux formes lisses, on suit leurs normales. Si les directions varient peu, la zone se comporte presque comme un plan ; si elles s'écartent vite, sa courbure est plus marquée. Lorsque seule une coupe plane est disponible, on étudie plutôt l'application de Gauss de la courbe obtenue.

Dans le calcul différentiel des surfaces, on dérive l'application de Gauss pour obtenir les courbures principales et leur produit. Si une description paramétrée présente des points où les deux directions tangentes deviennent dépendantes, il faut changer de paramétrage ou exclure ces points avant ce calcul.

Pour décider si une application globale existe, on tente de choisir les normales sans rupture sur toute la surface. Si ce choix revient inversé après un parcours fermé, on conserve des applications locales ou l'on travaille avec des directions normales non orientées.

Application de Gauss et courbure de Gauss. La première est une application qui associe une direction normale à chaque point ; la seconde est un nombre obtenu par le déterminant de sa différentielle. Sur un plan orienté, l'application est constante et la courbure vaut 0.

Application de Gauss et paramétrage de la sphère. Un paramétrage part de coordonnées pour produire des points d'une sphère. L'application de Gauss part au contraire des points de la surface étudiée et produit leurs normales unitaires. Pour une sphère centrée en l'origine, les deux constructions peuvent avoir des expressions proches, mais leurs domaines et leurs rôles diffèrent.

Courbure de Gauss et courbure moyenne. Si les deux courbures principales valent k₁ et k₂, la courbure de Gauss est leur produit, tandis que la courbure moyenne est leur demi-somme. Sur une selle où elles ont des signes opposés, le produit est négatif même si la demi-somme peut être nulle.

Point non régulier. Si le plan tangent n'est pas défini de façon unique, aucune normale unitaire unique ne peut être associée au point. Une pointe de cône fournit ce symptôme. Il faut retirer le point singulier ou étudier séparément les morceaux réguliers.

Surface non orientable. Des normales existent localement, mais elles ne se raccordent pas toujours en un choix continu global. Le changement de sens après un parcours fermé révèle l'obstruction. Il faut employer des cartes locales ou considérer la droite normale sans choisir l'un de ses deux sens.

Jacobian nul. Lorsque le déterminant de dN_p vaut exactement 0, l'image ne s'étale pas dans deux directions au premier ordre et la courbure de Gauss est nulle. Cela n'impose pas que la surface soit plane : un cylindre circulaire en est un exemple, car sa normale varie dans une seule direction.

Recouvrement de la sphère unité. Une même direction normale peut provenir de plusieurs points de la surface. L'application de Gauss n'est donc pas automatiquement injective. Pour compter une aire image ou inverser l'application, il faut contrôler les multiplicités et se restreindre à une zone où l'inversion est justifiée.

courbure de Gauss — Pour approfondir le nombre local obtenu à partir de la variation des normales.

Vecteur normal orienté — Pour préciser le choix de sens dont dépend l'application sur une surface orientée.

jacobien - déterminant - — Pour relier une transformation infinitésimale à son facteur d'aire orientée.