courbure de Gauss

Posez le doigt sur une balle : la surface s’éloigne du plan tangent dans le même sens quelle que soit la direction suivie. Sur une selle, elle se courbe vers le haut dans une direction et vers le bas dans l’autre. La courbure de Gauss résume cette différence par un nombre attaché au point observé.

Ce nombre est positif sur une forme localement bombée comme une sphère, négatif sur une forme en selle et nul sur un plan. Il décrit la géométrie mesurable depuis la surface, pas seulement son aspect dans l’espace.

La courbure de Gauss est une grandeur scalaire définie en chaque point d’une surface différentiable régulière. Parmi toutes les courbures obtenues en coupant la surface par des plans contenant sa normale, la plus petite et la plus grande sont les deux courbures principales, notées κ₁ et κ₂. Leur produit donne la courbure de Gauss K : $K={\kappa }_1{\kappa }_{2}K=\backslash kappa\_1\backslash kappa\_2$.

L’application de forme, aussi appelée endomorphisme de Weingarten, décrit la variation du vecteur normal unitaire lorsque l’on se déplace sur la surface. Ses deux valeurs propres sont, selon la convention de signe adoptée, κ₁ et κ₂ ou leurs opposées. Son déterminant reste K, car le produit ne change pas lorsque les deux signes sont inversés.

Le theorema egregium de Gauss affirme que K est intrinsèque : les distances mesurées sur la surface suffisent à la déterminer. Une déformation isométrique, qui plie sans étirer ni comprimer ces distances, conserve donc K. Le signe distingue notamment le comportement local d’un plan, d’une sphère et d’une surface hyperbolique.

On rencontre la courbure de Gauss sur une surface lisse, au voisinage d’un point où un plan tangent et une normale peuvent être définis. Une calotte bombée, une zone presque plane et un col en forme de selle donnent trois signatures visibles. Dans la première, les deux flexions principales vont dans le même sens ; dans la selle, elles vont en sens opposés ; sur le plan, elles sont nulles. La figure rassemble ces trois comportements locaux.

Le support peut être une surface tracée dans l’espace ou une surface étudiée seulement par les distances qu’elle porte. La valeur K appartient au point de cette surface ; elle peut donc varier d’un point à l’autre.

La grandeur à lire est K au point choisi. 1. Vérifiez d’abord que la surface est régulière à ce point, afin qu’une normale et un plan tangent existent. 2. Repérez les deux courbures principales κ₁ et κ₂, c’est-à-dire les valeurs extrêmes de la courbure normale. 3. Multipliez-les. 4. Interprétez le signe : positif si elles ont le même signe, négatif si elles ont des signes opposés, nul si l’une au moins est nulle.

Une convention peut inverser simultanément le signe des deux courbures principales, sans changer leur produit. L’œil peut aussi juger qu’une surface est « courbe » parce qu’elle est pliée : un cylindre se courbe dans une direction, mais pas dans l’autre, donc sa courbure de Gauss est nulle. Le bon réflexe consiste à examiner les deux directions principales.

Considérons une sphère de rayon R = 2 unités de longueur, au point de son sommet. Les données sont ce rayon et les deux directions principales tangentes à la sphère. Par symétrie, elles jouent le même rôle. Avec la convention qui donne des courbures positives à la sphère, chacune vaut l’inverse du rayon.

1. La première courbure principale vaut κ₁ = 1/2 par unité de longueur.

2. La seconde vaut elle aussi κ₂ = 1/2 par unité de longueur.

3. Leur produit donne :

4. Le résultat est K = 1/4 par unité de longueur au carré, une valeur positive conforme au caractère bombé de la sphère. Le contrôle se refait avec la relation $K=1\mathrm{/}{R}^{2}K=1/R^2$ : pour R = 2, elle donne bien 1/4. Si l’autre convention change les deux courbures en −1/2, leur produit reste 1/4.

Pour qualifier la forme locale d’une surface, on regarde d’abord le signe de K. Une valeur positive signale que les deux courbures principales ont le même signe ; une valeur négative révèle une selle. Si K est nul, il faut examiner séparément les deux courbures au lieu de conclure que la surface est plane.

Pour comparer une surface avant et après une déformation qui conserve les distances, K fournit un test local. Si sa valeur change au point correspondant, la transformation n’est pas isométrique : la surface a nécessairement été étirée ou comprimée.

Pour calculer K, deux voies sont possibles. Lorsque les courbures principales sont accessibles, leur produit est direct. Lorsque la surface est donnée par des coordonnées et sa métrique, le caractère intrinsèque établi par Gauss permet un calcul à partir des mesures internes de la surface.

Courbure moyenne. Elle combine les deux courbures principales par leur demi-somme, tandis que la courbure de Gauss les multiplie. Pour une selle symétrique de courbures 1 et −1, la moyenne vaut 0 mais K vaut −1 : le cas tranche immédiatement.

Courbure géodésique. Elle décrit la courbure d’une courbe tracée sur une surface, et non celle de la surface elle-même. Sur un plan, K vaut 0 partout alors qu’un cercle tracé sur ce plan possède une courbure géodésique non nulle.

Courbure normale. Elle dépend de la direction tangentielle choisie. La courbure de Gauss ne retient pas une seule coupe : elle utilise le produit des deux valeurs extrêmes, les courbures principales.

Point non régulier. À une pointe, une arête ou un point où le plan tangent n’est pas défini de façon unique, la définition classique par l’endomorphisme de Weingarten ne s’applique pas. Il faut employer un cadre adapté aux surfaces singulières plutôt que forcer une valeur ponctuelle de K.

Valeur nulle. Le seuil K = 0 ne signifie pas que la surface est un plan. Sur un cylindre, une courbure principale est nulle et l’autre ne l’est pas ; leur produit vaut pourtant 0. Il faut donc conserver les deux facteurs pour identifier la forme locale.

Point ombilic. Sur une sphère, les deux courbures principales sont égales. Les directions principales ne sont alors pas uniques, mais leur valeur commune et le produit K restent bien définis. Chercher deux directions privilégiées donnerait ici un faux symptôme d’indétermination.

Même valeur, géométrie non déterminée. Connaître K en un seul point ne suffit pas à reconstruire toute la surface. Le signe et la valeur renseignent le comportement local, sans coder à eux seuls la forme globale ni la manière dont la surface est placée dans l’espace.

La Courbure géodésique prolonge l’étude en séparant la courbure propre d’une courbe tracée sur la surface de la courbure de la surface elle-même.