Courbure géodésique

Imaginez deux trajets dessinés sur un globe : l’équateur et un cercle de latitude. Tous deux paraissent courbes dans l’espace. Pourtant, l’équateur avance aussi droit que possible sur la sphère, tandis que le cercle de latitude tourne à l’intérieur de la surface.

La courbure géodésique mesure ce virage ressenti sans quitter la surface. Elle vaut zéro le long d’une géodésique. Elle peut donc être nulle pour une courbe qui, vue de l’extérieur, semble bel et bien courbée.

Considérons une courbe régulière tracée sur une surface régulière orientée, et parcourue à vitesse unitaire. La longueur d’arc est notée s. Le vecteur tangent unitaire T change selon le vecteur courbure dT/ds. Au point considéré, n désigne la normale unitaire choisie à la surface. Le vecteur g, défini par g = n × T, est tangent à la surface et perpendiculaire à la courbe.

Dans le repère de Darboux formé par T, g et n, le vecteur courbure se décompose ainsi :Le coefficient κ_g est la courbure géodésique signée. Il mesure la composante du virage qui reste dans le plan tangent. Le coefficient κ_n est la courbure normale, dirigée hors de ce plan.

Une géodésique vérifie κ_g = 0 : son accélération normale à la trajectoire est alors entièrement normale à la surface. Le signe de κ_g dépend du choix de n et du sens de parcours ; sa valeur absolue n’en dépend pas. Sur une sphère, les grands cercles satisfont ce critère.

Prenons la sphère unité, munie de sa normale extérieure. La courbe est le cercle de latitude de colatitude θ = π/3, parcouru dans le sens des longitudes croissantes. Ses données sont : z = 1/2, rayon r = √3/2 et point de contrôle P = (√3/2, 0, 1/2). Le schéma compare ce parallèle à l’équateur.

1. Un cercle plan de rayon r a pour courbure euclidienne 1/r. Ici :

2. Sur la sphère unité, la normale extérieure n est le vecteur position, donc dn/ds = T. Comme T est tangent à la sphère, T · n = 0. En dérivant par rapport à s, on obtient dT/ds · n + T · T = 0 ; puisque la vitesse est unitaire, T · T = 1. Ainsi, la composante normale vaut κ_n = dT/ds · n = −1. Son signe indique qu’elle pointe vers le centre.

3. Les directions g et n étant perpendiculaires, les carrés des composantes s’additionnent. La valeur absolue cherchée est donc :

4. Avec l’orientation choisie, κ_g = 1/√3. Le contrôle est immédiat : à l’équateur, r = 1 et le même calcul donne |κ_g| = √(1 − 1) = 0, comme attendu pour un grand cercle.

Tester un trajet sur une surface. On calcule la partie du vecteur courbure qui reste tangente à la surface. Si elle est nulle, le trajet est géodésique ; sinon, sa valeur indique le virage latéral imposé au trajet.

Comparer des routes sur une sphère. Un grand cercle est préféré lorsqu’on cherche une géodésique. Un parallèle autre que l’équateur a une courbure géodésique non nulle, visible par son virage dans la surface.

Lire Gauss-Bonnet. Le long du bord d’une région, on intègre la courbure géodésique avec l’orientation du bord. Pour un bord par morceaux, les angles aux sommets doivent être ajoutés au lieu d’être absorbés dans une courbure ordinaire.

Courbure géodésique et courbure normale. La première est la composante tangente à la surface ; la seconde est portée par sa normale. Sur l’équateur de la sphère unité, la première vaut 0 alors que la seconde a pour valeur absolue 1.

Courbure géodésique et courbure euclidienne de la courbe. La courbure euclidienne mesure tout le virage dans l’espace ambiant. Un grand cercle de rayon 1 a une courbure euclidienne égale à 1, mais une courbure géodésique nulle.

Courbure géodésique et courbure de la surface. La première appartient à une courbe choisie sur la surface. La courbure de Gauss appartient à la surface au point considéré ; plusieurs courbes passant par ce point peuvent avoir des courbures géodésiques différentes.

Orientation inversée. Changer la normale de la surface ou le sens de parcours peut changer le signe de κ_g. Si deux calculs ont des signes opposés mais la même valeur absolue, il faut d’abord comparer leurs conventions d’orientation.

Paramètre quelconque. La dérivée dT/ds suppose la longueur d’arc s. Si le paramètre utilisé ne donne pas une vitesse unitaire, appliquer directement la formule produit un facteur erroné ; il faut normaliser la tangente et convertir la dérivation.

Coin ou point non régulier. À un angle, le vecteur tangent saute et la courbure ordinaire n’est pas définie comme une fonction finie. Il faut traiter séparément les arcs lisses et l’angle de rotation au sommet.

Seuil nul. Le critère κ_g = 0 est local : il affirme que la courbe est géodésique sur l’arc régulier considéré. Il ne suffit pas, à lui seul, à garantir que cet arc réalise la plus courte distance entre deux points éloignés.

La fiche Géodésique précise le type de courbe caractérisé ici par une courbure géodésique nulle.