GéométrieNotion · Glossaire
Géométrie riemannienne
La géométrie riemannienne est la branche de la géométrie différentielle qui étudie les variétés munies d'une métrique riemannienne, c'est-à-dire un champ de produits scalaires sur l'espace tangent variant de manière régulière. Elle permet de définir des notions comme les longueurs de courbes, les angles, les surfaces, les courbures, et les géodésiques sur des espaces courbes. La courbure de Riemann est le principal invariant. La relativité générale d’Einstein utilise quant à elle une métrique lorentzienne et relève de la géométrie pseudo-riemannienne, contrairement au cadre riemannien défini positif.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la métrique locale aux longueurs, angles, géodésiques et courbure.
- Calculer et contrôler la longueur d’un quart de grand cercle sur une sphère de rayon 2.
- Distinguer géométrie riemannienne, géométrie lorentzienne et courbure géodésique.
En clair
Imaginez une sphère de rayon 2 sur laquelle on ne peut se déplacer qu’en restant à la surface. Près de chaque point, un petit morceau ressemble à un plan tangent. Une règle et un rapporteur posés dans ce plan donnent les longueurs et les angles locaux.
La géométrie riemannienne assemble ces mesures locales de façon régulière. Elle permet alors de mesurer une courbe entière, de chercher les trajets les plus directs et de quantifier la courbure de l’espace, sans l’aplatir globalement.
Définition
Une variété riemannienne est une variété différentielle lisse M munie d’une métrique riemannienne. En chaque point p de M, l’espace tangent TpM rassemble les directions possibles au voisinage de p. La métrique associe à p un produit scalaire gp sur cet espace tangent. Ce produit scalaire est symétrique et défini positif, et il dépend de p de manière lisse.
Pour une courbe lisse γ parcourue entre les paramètres a et b, le vecteur vitesse au paramètre t est noté γ̇(t). Sa longueur est déterminée par la métrique :
Le même produit scalaire fournit les angles. Il permet aussi de définir l’aire ou le volume, puis une connexion compatible qui compare les directions voisines. Une géodésique munie d’un paramétrage affine est une courbe dont le vecteur vitesse se transporte parallèlement le long d’elle-même ; elle réalise localement un trajet direct.
Le tenseur de courbure de Riemann mesure l’écart à la géométrie euclidienne locale et constitue l’invariant central de la théorie. La sphère de rayon 2, munie de la métrique héritée de l’espace euclidien, a une courbure sectionnelle constante égale à 1/4. Les grands cercles y sont des géodésiques.
Un exemple, pas à pas
On travaille sur la sphère de rayon R = 2, avec sa métrique usuelle. Les données sont :
• le point A de coordonnées (2, 0, 0) ;
• le point B de coordonnées (0, 2, 0) ;
• l’arc d’équateur paramétré par γ(t) = (2 cos t, 2 sin t, 0) ;
• le paramètre t allant de 0 à π/2.
La coupe équatoriale rend visibles le rayon et le quart de grand cercle parcouru.
• le point A de coordonnées (2, 0, 0) ;
• le point B de coordonnées (0, 2, 0) ;
• l’arc d’équateur paramétré par γ(t) = (2 cos t, 2 sin t, 0) ;
• le paramètre t allant de 0 à π/2.
La coupe équatoriale rend visibles le rayon et le quart de grand cercle parcouru.
1. Aux bornes, γ(0) = A et γ(π/2) = B. La courbe relie donc bien les deux points annoncés.
2. Son vecteur vitesse est . Sa norme vaut constamment .
3. La longueur de l’arc est donc :
Le trajet mesure π unités de longueur.
4. Cet arc est un quart de grand cercle, donc une géodésique et le plus court trajet de A à B sur la sphère. Le contrôle élémentaire donne aussi longueur = rayon × angle = 2 × π/2 = π. Enfin, la courbure constante vaut K = 1/R2 = 1/4.
En pratique
Sur une surface courbe, la métrique riemannienne sert à mesurer une route qui reste sur la surface. On calcule la longueur de la courbe avec la métrique. La distance euclidienne en ligne droite coïncide avec cette distance intrinsèque lorsque le segment reliant les deux points reste sur la surface ; sinon, il faut minimiser la longueur parmi les courbes contraintes à la surface.
Pour chercher un trajet localement direct, on détermine une géodésique. Sur la sphère de rayon 2, les arcs de grands cercles fournissent ces trajectoires ; un autre cercle tracé sur la sphère ne convient pas en général.
Pour comparer la forme locale de deux espaces, on étudie leur courbure de Riemann. Si le produit scalaire tangent cesse d’être défini positif, le cadre devient pseudo-riemannien ; c’est cette extension, avec une métrique lorentzienne, qui intervient en relativité générale.
À ne pas confondre
Métrique riemannienne et distance. La métrique riemannienne mesure d’abord des vecteurs dans chaque espace tangent. Entre deux points d’une même composante connexe, la distance s’obtient ensuite comme l’infimum des longueurs des courbes qui les relient.
Géométrie riemannienne et géométrie pseudo-riemannienne. Un produit scalaire riemannien est défini positif : tout vecteur tangent non nul a un carré de norme positif. Une métrique lorentzienne ne vérifie pas ce test ; la relativité générale relève de ce second cadre.
Courbure de Riemann et courbure géodésique. La première décrit la courbure intrinsèque de la variété. La seconde concerne une courbe tracée sur une surface : l’équateur de la sphère a une courbure géodésique nulle, alors que la sphère reste courbe.
Limites et pièges
Une géodésique n’est pas toujours le plus court trajet global. Elle est localement directe. Entre deux points antipodaux de la sphère, une infinité de demi-grands cercles ont la même longueur 2π ; aucun n’est l’unique minimiseur.
Une singularité de coordonnées ne prouve pas une singularité géométrique. Les coordonnées longitude-latitude se rejoignent aux pôles, mais la sphère y reste lisse. Il faut changer de carte locale avant de conclure à un défaut de la variété.
Une forme bilinéaire non définie positive n’est pas une métrique riemannienne. Si un vecteur tangent non nul a un carré de norme négatif ou nul, la condition de positivité définie échoue. Il faut vérifier cette condition avant d’utiliser longueurs, angles et volume riemanniens.
Pour aller plus loin
Géodésique — Pour approfondir la définition des trajectoires localement directes et leurs propriétés.
Courbure géodésique — Pour distinguer la courbure d’une courbe sur une surface de celle de la variété.
Les énigmes de la relativité générale — Pour prolonger la notion vers le cadre lorentzien de l’espace-temps.
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