théorème de Nash

Imaginez un monde courbe dont les habitants mesurent les trajets sans jamais le quitter. Le théorème de Nash assure que ce monde peut être placé dans un espace euclidien de dimension finie sans modifier ces mesures.

Le monde peut alors paraître plié depuis l'extérieur, mais chaque chemin conserve sa longueur. Le plongement ajoute un point de vue extérieur sans remplacer la géométrie que vivent les habitants.

Une variété riemannienne est un espace qui ressemble localement à un espace euclidien et qui porte une métrique riemannienne, c'est-à-dire une règle donnant longueurs et angles dans chaque direction tangente. Un plongement place cet espace sans identifier deux points distincts. Il est isométrique lorsque la métrique obtenue depuis l'espace euclidien coïncide avec la métrique initiale.

Notons M la variété, g sa métrique et f son plongement dans un espace euclidien ℝ^N. Pour un point p de M et deux directions tangentes u et v en ce point, l'application différentielle d f doit vérifier : Cette égalité préserve les angles, les normes des vecteurs tangents et, par intégration, les longueurs des courbes.

Dans sa version lisse, le théorème affirme que toute variété riemannienne lisse admet un tel plongement lisse dans un espace euclidien de dimension finie. Le théorème de Nash-Kuiper traite séparément des plongements C¹ sous des hypothèses propres. Les dimensions données par ces théorèmes sont des bornes suffisantes : elles ne déterminent pas toujours la plus petite dimension possible pour une variété particulière.

Si M est une variété lisse munie d'une métrique riemannienne lisse g, la version lisse du théorème assure qu'il existe un entier fini N et un plongement lisse f de M dans ℝ^N qui reproduit g à partir du produit scalaire euclidien. Autrement dit, toute courbe de M et sa courbe image par f ont la même longueur. Le théorème de Nash-Kuiper porte sur des plongements C¹ et, dans sa forme classique pour une variété compacte, suppose notamment qu'un plongement strictement court dans l'espace euclidien visé soit déjà donné.

Le point de départ est une variété munie d'une métrique riemannienne : à chaque point, celle-ci mesure positivement les directions tangentes et leurs angles. Dans la version lisse du théorème, la variété et sa métrique sont lisses, et le plongement obtenu l'est aussi. Le théorème de Nash-Kuiper est un résultat C¹ distinct : dans sa forme classique pour une variété compacte, il part notamment d'un plongement strictement court dans l'espace euclidien choisi.

Une simple distance entre les points d'un ensemble ne suffit pas : sans structure de variété ni métrique sur les directions tangentes, l'énoncé ne s'applique pas sous cette forme. Il faut alors utiliser un résultat de plongement adapté aux espaces métriques, et non invoquer directement le théorème de Nash.

Prenons un cercle abstrait de rayon 2, paramétré par un angle θ mesuré en radians. Sa métrique est d s² = 4 d θ². Considérons les deux points d'angles 0 et π/3, et l'application f qui envoie chaque angle sur le cercle usuel du plan.

1. Écrivons le plongement : $f(\theta )=(2\cos \theta ,2\sin \theta )f(\backslash theta)=(2\backslash cos\backslash theta,2\backslash sin\backslash theta)$. Sa dérivée est $f^{\mathrm{\prime }}(\theta )=(-2\sin \theta ,2\cos \theta )f\text{'}(\backslash theta)=(-2\backslash sin\backslash theta,2\backslash cos\backslash theta)$.

2. La norme de cette dérivée vaut exactement 2. La métrique induite dans le plan est donc 4 d θ², identique à la métrique annoncée sur le cercle abstrait.

3. L'arc allant de 0 à π/3 a pour longueur ${\int }_0^{\pi \mathrm{/}3}2d\theta =\frac{2\pi }{3}\backslash int\_0^\{\backslash pi/3\}2\backslash ,d\backslash theta=\backslash frac\{2\backslash pi\}\{3\}$. Le cercle abstrait et son image plane donnent exactement le même résultat. La figure rend aussi visible la différence avec la corde droite.

4. Contrôlons le piège : la distance euclidienne directe entre les deux points vaut $2\times 2\sin (\pi \mathrm{/}6)=22\backslash times2\backslash sin(\backslash pi/6)=2$, tandis que l'arc vaut 2π/3, soit environ 2,094. L'isométrie préserve les longueurs des chemins sur la variété, pas la longueur de chaque raccourci dans l'espace ambiant.

Pour traduire une géométrie intrinsèque en une figure euclidienne, le théorème garantit qu'une réalisation fidèle existe dans une dimension finie. Si aucune formule explicite du plongement n'est connue, les calculs menés directement avec la métrique g restent plus utiles.

Pour une question de flexibilité en classe C¹, le théorème de Nash-Kuiper s'applique lorsque ses hypothèses propres sont satisfaites, notamment l'existence du plongement strictement court dont il part. Si le problème exige un plongement lisse, il faut utiliser la version lisse. La borne de dimension qu'elle fournit est suffisante, mais une variété donnée peut parfois se plonger dans une dimension plus petite.

Pour tester un plongement proposé, comparez la métrique déduite de ses vecteurs tangents avec la métrique d'origine. Comparer seulement les distances droites entre les images de deux points conduit au mauvais critère, comme le montrent l'arc et la corde du cercle de rayon 2.

Théorème de plongement de Nash et équilibre de Nash. Le premier porte sur la réalisation euclidienne d'une variété riemannienne ; le second appartient à la théorie des jeux. Une question sur longueurs, angles ou variétés relève ici du plongement, pas d'un choix stratégique.

Plongement isométrique et isométrie surjective. Un plongement isométrique identifie la variété à son image, qui n'occupe généralement pas tout l'espace euclidien ambiant. Une isométrie n'est pas nécessairement surjective ; c'est seulement une isométrie surjective qui atteint tout l'espace d'arrivée. Le cercle plongé dans le plan n'est pas tout le plan.

Longueur intrinsèque et corde ambiante. Deux points du cercle de rayon 2 séparés par un angle π/3 sont à une longueur d'arc 2π/3, mais leur corde mesure 2. Comparer les cordes ferait croire à tort que le plongement change la métrique ; il faut mesurer les courbes contenues dans l'image.

Existence sans recette unique. Le théorème affirme qu'au moins un plongement isométrique existe dans une dimension finie. Il ne fournit pas, à lui seul, une formule simple ni un plongement canonique pour chaque variété. Pour un calcul concret, il faut encore construire ou choisir une réalisation.

Régularité non interchangeable. Un plongement C¹ conserve bien la métrique, mais il ne possède pas nécessairement les dérivées d'ordre 2 demandées par une étude plus lisse. Il faut alors invoquer une version dont les hypothèses et la conclusion garantissent la régularité voulue. La dimension annoncée est une borne suffisante, pas forcément la dimension minimale de la variété considérée.

Géodésique — Relier les chemins dictés par la métrique intrinsèque aux courbes dont le plongement isométrique conserve la longueur.

Sous-variété — Situer l'image plongée à l'intérieur de l'espace euclidien ambiant et préciser la structure qu'elle y porte.