Sous-variété

La surface d’une sphère est contenue dans l’espace à trois dimensions, mais une petite carte à deux coordonnées suffit pour se déplacer près de chaque point. À très petite échelle, elle ressemble donc à un morceau de plan, sans bord ni pointe.

C’est l’idée d’une sous-variété : un objet lisse de dimension plus petite installé dans un espace ambiant. Une courbe régulière peut ainsi être une sous-variété d’une surface, et une surface régulière une sous-variété de l’espace.

Soit M une variété différentielle de dimension n. Un sous-ensemble S de M est une sous-variété plongée de dimension k si, autour de chaque point de S, il existe des coordonnées locales de M dans lesquelles S est décrit par l’annulation des n − k dernières coordonnées. Autrement dit, S y prend la forme d’un ouvert de ℝ^k inclus dans ℝⁿ. La topologie et la structure différentielle de S doivent être compatibles avec celles induites par M.

Deux constructions locales sont usuelles. Une paramétrisation régulière fournit une application dont la différentielle est injective : c’est une immersion. Pour obtenir une sous-variété plongée, il faut aussi que la paramétrisation identifie localement son domaine à son image et qu’elle n’introduise pas de recoupement global indésirable.

Une description implicite part d’une application différentiable F de M vers une variété de dimension r. Si une valeur c est régulière, c’est-à-dire si la différentielle de F est surjective en chaque point où F vaut c, alors l’ensemble de niveau $S=F^{-1}(c)S=F^\{-1\}(c)$ est une sous-variété de dimension n − r. C’est la forme géométrique du théorème des fonctions implicites.

Considérons dans ℝ³ la sphère unité S. Les données sont les coordonnées x, y et z, la fonction F qui associe à un point la somme x² + y² + z², et le niveau 1. Le point étudié est p = (0, 0, 1).

1. L’ensemble de niveau est bien la sphère :2. Le gradient de F au point de coordonnées (x, y, z) est le vecteur (2x, 2y, 2z).
3. Sur S, ce vecteur ne peut pas être nul, car x² + y² + z² vaut 1.
4. La différentielle est donc surjective vers ℝ en tout point de S.

Le théorème des niveaux réguliers donne une sous-variété de dimension 3 − 1 = 2. Au point p, le gradient vaut (0, 0, 2) : le plan tangent est z = 1. On peut refaire le contrôle en vérifiant que les directions (1, 0, 0) et (0, 1, 0) sont orthogonales à ce gradient. Une coupe par le plan y = 0 montre la tangence entre le cercle unité et cette droite.

Pour reconnaître une courbe ou une surface donnée par une équation, on étudie la différentielle de l’application qui porte cette équation. Si elle est surjective sur le niveau considéré, le théorème des niveaux réguliers donne immédiatement la dimension et exclut localement les pointes et croisements.

Lorsqu’un objet est donné par des paramètres, on vérifie plutôt que les vecteurs dérivés sont indépendants. Cette voie est préférable quand le paramétrage est explicite ; une équation implicite est souvent plus efficace quand le niveau est facile à isoler.

Une fois la sous-variété reconnue, la différentielle fournit ses espaces tangents. Pour la sphère unité, le gradient au point p donne une normale, et les vecteurs qui lui sont orthogonaux forment le plan tangent.

Sous-ensemble et sous-variété. Tout ensemble inclus dans une variété n’est pas une sous-variété. Le cercle unité privé d’un point reste localement une courbe lisse ; l’union de deux droites qui se coupent ne ressemble pas à une seule droite près du croisement.

Immersion et plongement. Une immersion impose seulement que la différentielle soit injective. Une courbe paramétrée en forme de huit peut être immergée tout en ayant deux paramètres pour le point de croisement ; son image n’est alors pas une sous-variété plongée au croisement.

Submersion et immersion. Une submersion a une différentielle surjective et décrit des sous-variétés par ses ensembles de niveau. Une immersion a une différentielle injective et décrit localement une image paramétrée. Le sens du test différentiel les sépare.

Valeur non régulière. Si la différentielle n’est pas surjective sur un niveau, le théorème ne conclut plus. Cela ne prouve pas que le niveau est singulier : la même sous-variété peut parfois être décrite par une autre équation mieux choisie.

Singularité réelle. Le cône d’équation $x^2+y^2-z^2=0x^2+y^2-z^2=0$ a un gradient nul à l’origine. Près de ce point, les deux nappes se rejoignent et l’ensemble ne ressemble pas à un plan ; il faut le traiter comme un ensemble singulier, pas comme une sous-variété en ce point.

Bord. Dans la convention sans bord, un demi-plan n’est pas une sous-variété au sens précédent le long de son arête. Il devient une variété à bord si cette catégorie est explicitement autorisée.

Dimension zéro. Une sous-variété de dimension 0 est localement un point isolé. Si un point de l’ensemble est aussi un point d’accumulation de cet ensemble, celui-ci échoue donc au test en ce point.

La fiche Immersion précise le critère d’injectivité différentielle utilisé par les paramétrisations régulières.

La fiche Submersion développe le critère de surjectivité qui rend les niveaux réguliers.

La fiche Implicites (théorème des fonctions) explique le résultat local qui transforme certaines équations en paramétrisations.

La fiche Difféomorphisme éclaire la notion de ressemblance lisse employée dans les cartes locales.