AnalyseNotion · Glossaire
Difféomorphisme
Un difféomorphisme est une bijection différentiable entre deux variétés différentielles dont l'inverse est également différentiable. Plus précisément, une application f entre deux ouverts de l'espace euclidien est un difféomorphisme de classe Ck si f est bijective, f est k fois continûment différentiable, et son inverse l'est également. Les difféomorphismes sont les isomorphismes de la catégorie des variétés différentiables : ils préservent la structure différentiable.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les trois conditions d'un difféomorphisme et leur version Ck.
- Vérifier un exemple global avec la fonction x ↦ x+x³.
- Distinguer l'inversibilité locale du jacobien de la bijectivité globale.
- Séparer difféomorphisme, homéomorphisme et isométrie.
En clair
Imaginez une grille souple que l'on étire sans la déchirer, la plier en pointe ni coller deux points. Chaque point de départ possède une unique arrivée, et le chemin inverse défait la déformation avec la même régularité.
Un difféomorphisme formalise cette déformation parfaitement réversible. Il préserve ce qui dépend du calcul différentiel, comme l'existence de directions tangentes, mais pas nécessairement les longueurs, les angles ou les aires.
Définition
Soient deux variétés différentielles M et N de même dimension. Une application f de M vers N est un difféomorphisme si elle est bijective, différentiable et si son application inverse, notée f−1, est elle aussi différentiable. La bijectivité garantit qu'à chaque point de N correspond exactement un point de M ; la régularité dans les deux sens interdit les plis singuliers et les pointes créés par le changement de coordonnées.
Pour un difféomorphisme de classe Ck, où k est un entier positif, les applications f et f−1 possèdent des dérivées continues jusqu'à l'ordre k. Entre deux ouverts de l'espace euclidien, la différentielle de f en chaque point est inversible. Si p désigne ce point et Jf(p) la matrice jacobienne de f en p, le critère s'écrit . Cette condition locale ne suffit toutefois pas à assurer la bijectivité sur tout le domaine.
Deux variétés reliées par un difféomorphisme sont dites difféomorphes. Elles ont la même structure différentielle, même si leurs représentations géométriques peuvent avoir des mesures très différentes.
Un exemple, pas à pas
Considérons la fonction f de la droite réelle vers elle-même définie par . Les données sont le domaine ℝ, l'ensemble d'arrivée ℝ et la dérivée .
1. La dérivée est strictement positive pour tout réel x. La fonction est donc strictement croissante et ne prend jamais deux fois la même valeur.
2. Lorsque x tend vers moins l'infini, f(x) tend vers moins l'infini ; lorsque x tend vers plus l'infini, f(x) tend vers plus l'infini. Avec la continuité et la croissance stricte, cela prouve que f est bijective de ℝ sur ℝ.
3. La fonction est de classe C∞. Comme sa dérivée ne s'annule jamais, le théorème d'inversion locale donne une inverse de classe C∞ autour de chaque valeur ; la bijectivité assemble ces inverses locales en une inverse globale.
Ainsi, f est un difféomorphisme de ℝ sur ℝ. Un contrôle immédiat donne f(−1) = −2, f(0) = 0 et f(1) = 2 : l'ordre est conservé et chaque valeur testée possède un antécédent unique.
En pratique
En géométrie différentielle, un difféomorphisme transporte une question vers des coordonnées plus commodes. On choisit ce changement lorsque la transformation et son inverse restent régulières ; sinon, les calculs de tangentes peuvent perdre leur sens.
Pour comparer deux variétés, on cherche une correspondance globale, lisse et réversible. Si seule la forme continue importe, un homéomorphisme suffit ; si les dérivées doivent aussi être transportées, il faut un difféomorphisme.
Dans un calcul concret, on vérifie d'abord que le jacobien est inversible sur le domaine, puis que l'application est réellement bijective. Le premier test est local ; le second empêche que des zones éloignées se superposent ou que certaines valeurs manquent.
À ne pas confondre
Homéomorphisme. Il exige une bijection continue dont l'inverse est continue, sans demander de dérivées. La fonction x ↦ x3 est un homéomorphisme de ℝ sur ℝ, mais son inverse n'est pas différentiable en 0 : ce n'est pas un difféomorphisme.
Application différentiable bijective. La régularité de l'inverse n'est pas automatique. Le même exemple x ↦ x3 est différentiable et bijectif, mais échoue précisément au contrôle de l'inverse en 0.
Isométrie. Une isométrie conserve les distances, tandis qu'un difféomorphisme peut les modifier. La fonction x ↦ 2x est un difféomorphisme de ℝ sur ℝ, mais elle double toutes les distances.
Limites et pièges
Un jacobien inversible ne prouve qu'une propriété locale. L'application de ℝ vers le cercle donnée par un angle enroule la droite plusieurs fois : sa vitesse ne s'annule pas, mais elle n'est pas injective. Il faut donc contrôler séparément la bijectivité globale.
Le domaine et l'ensemble d'arrivée font partie de l'énoncé. La fonction exponentielle est un difféomorphisme de ℝ sur l'intervalle des réels strictement positifs, pas de ℝ sur ℝ, car aucune valeur négative n'est atteinte.
Une dérivée nulle signale un point critique, pas toujours un défaut de bijectivité. La fonction x ↦ x3 reste bijective, mais l'inverse présente une tangente verticale en 0. Il faut examiner la régularité de l'inverse.
La classe de régularité doit être précisée. Un difféomorphisme C1 garantit une dérivée continue dans les deux sens, sans garantir des dérivées d'ordre supérieur. Pour transporter des calculs d'ordre k, il faut exiger la classe Ck.
Pour aller plus loin
La fiche bijection détaille l'unicité des antécédents et la couverture de l'ensemble d'arrivée, deux contrôles globaux indispensables.
La fiche Différentielle précise l'application linéaire locale dont l'inversibilité gouverne le changement de coordonnées au voisinage d'un point.
La fiche Homéomorphisme permet de comparer l'équivalence topologique, fondée sur la continuité, avec l'équivalence différentielle, plus exigeante.
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