AnalyseNotion · Glossaire
Valeur régulière
En analyse et en géométrie différentielle, une valeur régulière d'une application différentiable f entre deux variétés est un point y tel que, pour tout antécédent x de y, la différentielle de f en x est surjective. Si y est une valeur régulière, l'ensemble de niveau f à l'inverse de y est une sous-variété lisse selon le théorème des fonctions implicites. Le théorème de Sard affirme que presque toute valeur (au sens de la mesure) est régulière.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer une valeur régulière d'un point régulier et d'une valeur critique.
- Tester la surjectivité de la différentielle sur tous les antécédents.
- Relier un niveau régulier à une sous-variété lisse de dimension déterminée.
- Refaire le calcul complet pour les niveaux de x² + y².
En clair
Imaginez une carte où chaque point reçoit une altitude. Une altitude est régulière si, partout où elle est atteinte, le terrain n'est pas plat dans toutes les directions. La ligne de niveau peut alors se poursuivre sans pointe ni arrêt brutal.
Pour la fonction qui associe à un point du plan le carré de sa distance à l'origine, toute valeur strictement positive dessine un cercle. La valeur 0 ne donne que l'origine, où toutes les variations du premier ordre s'annulent : elle n'est pas régulière.
Définition
Soit une application lisse f d'une variété lisse M vers une variété lisse N. Un point y de N est une valeur régulière de f lorsque, pour chaque point x de M tel que f(x) = y, la différentielle de f au point x envoie l'espace tangent à M sur tout l'espace tangent à N. En notant cette application linéaire d fx, le critère s'écrit .
Lorsque N est la droite réelle, la surjectivité signifie simplement que d fx n'est pas l'application nulle. Dans des coordonnées euclidiennes, cela revient à demander que le gradient de f ne soit nul en aucun point du niveau considéré. Si M a pour dimension m et N pour dimension n, avec m au moins égal à n, le théorème des valeurs régulières donne alors une sous-variété f−1(y) de dimension m − n.
La condition porte sur tous les antécédents de y, et non sur un seul. Selon la convention usuelle, une valeur qui n'est jamais atteinte est régulière par vacuité, mais son ensemble de niveau est vide. Pour une application lisse, le théorème de Sard précise que l'ensemble des valeurs critiques est de mesure nulle dans N.
Un exemple, pas à pas
Considérons l'application f du plan vers la droite réelle qui associe au point de coordonnées x et y la valeur x2 + y2. Les données sont la fonction f et la valeur candidate 1.
1. Les antécédents de 1 vérifient x2 + y2 = 1 : ils forment le cercle de centre l'origine et de rayon 1.
2. Au point de coordonnées x et y, la différentielle agit sur un déplacement de coordonnées h et k selon .
3. Sur le cercle, x et y ne sont jamais nuls simultanément. Cette application linéaire vers la droite réelle n'est donc jamais nulle, et elle est surjective.
2. Au point de coordonnées x et y, la différentielle agit sur un déplacement de coordonnées h et k selon .
3. Sur le cercle, x et y ne sont jamais nuls simultanément. Cette application linéaire vers la droite réelle n'est donc jamais nulle, et elle est surjective.
La valeur 1 est ainsi régulière, et son ensemble de niveau est bien une courbe lisse de dimension 2 − 1 = 1. La figure matérialise ce cercle et quatre gradients non nuls, perpendiculaires au niveau.
Le contrôle se refait avec la valeur 0. Son unique antécédent est l'origine, où pour tout déplacement : 0 est une valeur critique, pas une valeur régulière.
En pratique
Pour étudier un ensemble défini par une équation f(x) = y, on calcule la différentielle sur tous les points qui satisfont l'équation. Si elle est partout surjective, l'ensemble est localement une sous-variété lisse et sa dimension est prévisible. Sinon, il faut examiner séparément les points critiques.
Pour tracer une courbe de niveau, le même test repère les niveaux sans singularité. Dans l'exemple x2 + y2, un niveau positif produit un cercle lisse ; au niveau 0, le gradient nul signale que le théorème des valeurs régulières ne suffit plus.
Pour vérifier une contrainte avant un raisonnement local, on contrôle le rang de sa matrice jacobienne. Le rang maximal autorise l'usage du théorème des fonctions implicites ; un rang insuffisant impose une analyse directe de l'ensemble de solutions.
À ne pas confondre
Valeur régulière et point régulier. Une valeur régulière appartient à l'espace d'arrivée et exige la surjectivité sur tous ses antécédents. Un point régulier appartient à l'espace de départ et se teste en ce seul point. Pour f(x, y) = x2 + y2, chaque point du cercle unité est régulier, ce qui rend la valeur 1 régulière.
Valeur régulière et valeur critique. Une valeur atteinte est critique dès qu'au moins un de ses antécédents possède une différentielle non surjective. Il suffit donc d'un mauvais antécédent pour faire échouer la régularité. Dans l'exemple conducteur, 0 est critique car son antécédent, l'origine, a une différentielle nulle.
Limites et pièges
Valeur hors de l'image. Si y n'a aucun antécédent, la condition « pour tout antécédent » est vraie par vacuité. La valeur est donc régulière selon la convention usuelle, mais le niveau f−1(y) est vide. Il faut vérifier l'existence d'un antécédent avant d'annoncer une courbe ou une surface.
Un seul contrôle ne suffit pas. La différentielle peut être surjective en certains antécédents et perdre du rang en un autre. Le symptôme est un rang qui varie sur le même ensemble de niveau. Il faut tester le rang sur toutes ses composantes.
Régularité ne signifie pas connexité. Le théorème garantit une structure lisse locale, pas un seul morceau global. Un niveau régulier peut avoir plusieurs composantes ; il faut les déterminer par une étude globale supplémentaire.
Le théorème de Sard demande assez de régularité. L'énoncé standard s'applique notamment aux applications lisses. Pour une application seulement différentiable une fois dans des dimensions générales, la conclusion de mesure nulle n'est pas automatique ; il faut contrôler la classe de différentiabilité avant de l'utiliser.
Pour aller plus loin
La Différentielle précise l'application linéaire dont la surjectivité est testée. La Sous-variété décrit la structure obtenue pour un niveau régulier.
Le théorème des fonctions implicites explique le mécanisme local qui transforme une équation régulière en paramétrage lisse. Le point critique présente le défaut de surjectivité observé dans l'espace de départ.
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