AnalyseThéorème · Glossaire
Implicites (théorème des fonctions)
Le théorème des fonctions implicites est un résultat fondamental d'analyse en plusieurs variables. Il affirme que si F(x, y) = 0 est une équation implicite avec F de classe C^1, et si la dérivée partielle de F par rapport à y est non nulle au point (x_0, y_0) solution, alors localement y peut être exprimé comme une fonction explicite y = f(x) de classe C^1. Ce théorème permet de résoudre localement des équations implicites et est utilisé pour définir des courbes, surfaces et variétés comme ensembles de niveau.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les hypothèses d'application au voisinage d'un point solution.
- Calculer la dérivée de la fonction locale sans résoudre globalement l'équation.
- Voir sur le cercle unité pourquoi la conclusion est locale et peut échouer pour une variable donnée.
En clair
Sur un cercle, choisir une abscisse proche du sommet détermine un seul point de l'arc supérieur. L'équation du cercle ne donne pourtant pas directement la hauteur : elle lie simplement les deux coordonnées.
Le théorème des fonctions implicites garantit que, dans une petite zone où la courbe ne se replie pas verticalement, cette hauteur devient une fonction de l'abscisse. Le mot localement est essentiel : ailleurs sur le cercle, une même abscisse peut correspondre à deux hauteurs.
Définition
Une équation implicite relie des variables sans isoler nécessairement l'une d'elles. Soit F une fonction de classe C1, donc continûment différentiable, définie près d'un point de coordonnées x0 et y0. On suppose que ce point satisfait l'équation .
Si la dérivée partielle de F par rapport à la variable y ne s'annule pas en ce point, alors il existe des voisinages de x0 et de y0 dans lesquels l'équation détermine une unique fonction f de classe C1. Pour chaque x suffisamment proche de x0, la solution proche de y0 est y = f(x). Sa dérivée s'obtient sans isoler explicitement y : .
Le résultat est local : il décrit seulement la branche passant par le point choisi. Avec plusieurs variables x ou plusieurs inconnues y, la condition correspondante porte sur l'inversibilité de la matrice des dérivées partielles par rapport aux inconnues y. Les ensembles ainsi décrits comprennent localement des courbes, des surfaces et, plus généralement, des sous-variétés régulières.
Le principe
Soit F une fonction de classe C1 au voisinage d'un point solution de coordonnées x0 et y0. Si et si , alors il existe une unique fonction f de classe C1, définie près de x0, telle que f(x0) = y0 et que pour tout x assez proche de x0.
Quand l'utiliser
Le théorème s'applique à une équation F(x, y) = 0 près d'un point déjà connu comme solution. La fonction F doit être de classe C1 dans un voisinage de ce point. La dérivée partielle par rapport à la variable que l'on veut exprimer doit y être non nulle. Ces conditions donnent une branche locale qui existe, est unique près de la valeur choisie et varie de façon C1.
Pour le cercle défini par F(x, y) = x2 + y2 − 1, la dérivée partielle par rapport à y vaut 2y. Elle est non nulle au point (0, 1), mais s'annule au point (1, 0). Au voisinage de ce dernier, y n'est pas une fonction unique de x ; on peut plutôt exprimer x comme fonction de y, car la dérivée partielle par rapport à x vaut alors 2.
Un exemple, pas à pas
Considérons le cercle unité et son point supérieur (0, 1). La fonction choisie est F(x, y) = x2 + y2 − 1. La variable à exprimer est la hauteur y en fonction de l'abscisse x.
1. Le point appartient au cercle, car F(0, 1) = 0.
2. La dérivée partielle de F par rapport à y est 2y ; au point (0, 1), elle vaut 2, donc elle est non nulle.
3. Le théorème garantit une unique fonction y = f(x) près de x = 0 et de y = 1.
4. Sur cette branche supérieure, on peut vérifier que .
5. La formule de dérivation donne , donc f′(0) = 0.
2. La dérivée partielle de F par rapport à y est 2y ; au point (0, 1), elle vaut 2, donc elle est non nulle.
3. Le théorème garantit une unique fonction y = f(x) près de x = 0 et de y = 1.
4. Sur cette branche supérieure, on peut vérifier que .
5. La formule de dérivation donne , donc f′(0) = 0.
Le résultat est une branche horizontale au point (0, 1). Un contrôle direct consiste à substituer la valeur obtenue : pour tout x assez proche de 0, x2 + f(x)2 = 1.
En pratique
Pour étudier une courbe donnée par une équation, on choisit un point solution et on teste la dérivée partielle associée à la coordonnée que l'on souhaite isoler. Si elle ne s'annule pas, cette coordonnée peut servir de fonction locale de l'autre.
Pour calculer la pente d'une branche, il n'est pas nécessaire de résoudre toute l'équation. La dérivation implicite fournit directement la dérivée locale, tant que le dénominateur imposé par le théorème reste non nul.
Si ce test échoue pour y mais réussit pour x, on échange les rôles des coordonnées. Sur le cercle unité près de (1, 0), cette alternative décrit x comme fonction de y et évite de prétendre que les deux branches donnent un y unique.
À ne pas confondre
Équation implicite et théorème des fonctions implicites. Une équation comme x2 + y2 = 1 décrit une relation globale. Le théorème est le résultat qui autorise, sous une condition de dérivée, à en extraire une fonction sur une zone locale.
Théorème d'inversion locale. Celui-ci cherche un inverse local d'une application entre espaces de même dimension et exige l'inversibilité de sa différentielle. Le théorème des fonctions implicites cherche plutôt les solutions d'une équation ; pour le cercle, il produit une branche, pas l'inverse du cercle.
Limites et pièges
Dérivée partielle nulle. Lorsque la dérivée par rapport à y s'annule, le théorème ne conclut rien sur y comme fonction de x. Cela ne prouve ni l'absence ni la multiplicité des solutions : il faut examiner l'équation ou essayer une autre variable. Au point (1, 0) du cercle unité, l'échange des rôles de x et y rétablit une description locale.
Local ne signifie pas global. Près de (0, 1), la branche supérieure du cercle donne un y unique. Sur tout l'intervalle −1 < x < 1, l'équation complète donne pourtant deux valeurs, positive et négative. Il faut donc préciser le point et le voisinage retenus.
Régularité insuffisante. L'existence ponctuelle de dérivées ne remplace pas l'hypothèse C1 de cet énoncé. Si la continuité des dérivées n'est pas établie dans un voisinage, il faut employer une version adaptée du théorème ou démontrer directement l'existence et l'unicité de la branche.
Pour aller plus loin
La dérivée partielle précise le test de non-nullité effectué en gardant les autres variables fixes.
La différentielle étend ce test aux systèmes de plusieurs équations et à la matrice qui doit être inversible.
La fonction inverse aide à distinguer l'inversion d'une application de la résolution locale d'une équation implicite.
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