fonction inverse
La fonction inverse est la fonction réelle définie sur ℝ \ {0} qui associe à tout réel non nul x son inverse multiplicatif 1/x, c’est-à-dire le nombre qui, multiplié par x, donne 1. Elle sert à modéliser une proportion inverse : quand une grandeur non nulle est multipliée par un facteur non nul, son inverse est divisé par ce même facteur ; elle ne doit pas être confondue avec la fonction réciproque d’une bijection.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir la fonction inverse et son domaine sans confondre inverse et réciproque.
- Calculer une image et contrôler le résultat par multiplication.
- Relier l'hyperbole, ses asymptotes, la dérivée et l'intégrale au logarithme.
En clair
Prenez un nombre non nul et cherchez celui qui, multiplié par lui, donne 1. Pour 2, ce nombre est 1/2 ; pour −4, c'est −1/4. La fonction inverse effectue précisément cette association.
Plus le nombre positif de départ se rapproche de zéro, plus son inverse devient grand. À l'inverse, un nombre positif qui grandit a un inverse qui se rapproche de zéro. Le nombre 0 reste exclu, car aucune multiplication par 0 ne peut donner 1.
Définition
La fonction inverse est la fonction réelle, notée ici f, dont la variable x peut être tout nombre réel sauf zéro. Son domaine est donc , et sa règle est . Le résultat f(x) est l'unique réel qui vérifie x × f(x) = 1.
Sur chacun des deux intervalles ]−∞, 0[ et ]0, +∞[, f est strictement décroissante. Sa courbe est une hyperbole équilatère formée de deux branches. L'axe des ordonnées, d'équation x = 0, et l'axe des abscisses, d'équation y = 0, sont ses asymptotes. Sa dérivée, pour tout x non nul, est .
Pour un réel x strictement positif, l'intégrale accumule les valeurs de 1/t entre 1 et x, sous la forme d'une aire algébrique. La fonction qui associe à x cette accumulation est, par définition, le logarithme népérien ; on écrit : . Cette identité reste dans la partie positive du domaine et ne traverse jamais zéro.
De quoi c'est fait
Quatre éléments structurent la fonction inverse. Son domaine contient tous les réels sauf 0. Sa règle associe à chaque nombre autorisé le quotient 1/x. Son graphe comporte alors deux branches, une pour les entrées positives et une pour les entrées négatives. Enfin, les deux axes de coordonnées sont des asymptotes : la courbe s'en approche sans les rencontrer.
L'exclusion de 0 sépare le domaine et explique les deux branches. La règle 1/x impose aussi l'approche de l'axe horizontal lorsque la valeur absolue de x grandit. Le choix de la couleur, de l'échelle ou de l'épaisseur du tracé ne définit pas la fonction. Le domaine et la règle suffisent à calculer chaque image et à construire sa courbe.
Un exemple, pas à pas
On cherche l'image du réel 2 par la fonction inverse, puis on contrôle le résultat. Données : l'entrée vaut x = 2 ; la règle est f(x) = 1/x ; le produit d'un nombre par son inverse doit valoir 1.
1. On vérifie que 2 est non nul : l'entrée appartient donc au domaine.
2. On remplace x par 2 dans la règle.
3. Le point de la courbe correspondant a pour coordonnées (2 ; 1/2).
4. On contrôle en multipliant l'entrée par son image : 2 × 1/2 = 1.
2. On remplace x par 2 dans la règle.
3. Le point de la courbe correspondant a pour coordonnées (2 ; 1/2).
4. On contrôle en multipliant l'entrée par son image : 2 × 1/2 = 1.
Le résultat exact est donc f(2) = 1/2. Le contrôle donne bien 1, ce qui confirme que 1/2 est l'inverse multiplicatif de 2.
En pratique
Pour calculer une image, on divise 1 par l'entrée après avoir vérifié qu'elle n'est pas nulle. Si l'entrée vaut 2, la valeur exacte 1/2 est préférable à son écriture décimale 0,5 ; les deux désignent ici le même nombre.
Pour lire la courbe, on repère d'abord le signe de x. Une entrée positive mène à la branche positive, une entrée négative à la branche négative. Près de x = 0, un calcul est plus fiable qu'une lecture graphique, car les valeurs varient très fortement.
En calcul différentiel, la dérivée −1/x² établit la décroissance sur chacun des deux intervalles du domaine. En calcul intégral, l'intégrale de 1/t entre deux bornes strictement positives se traite avec le logarithme népérien.
À ne pas confondre
La fonction inverse envoie directement un nombre x non nul sur 1/x. Une fonction réciproque défait au contraire la correspondance d'une fonction bijective : si une fonction g envoie 2 sur 5, sa réciproque envoie 5 sur 2. Le critère est donc l'opération effectuée, et non la présence du mot « inverse ».
Il faut aussi distinguer x ↦ 1/x de l'inverse algébrique d'une fonction, pris point par point. Pour une fonction h qui ne s'annule pas, cet inverse associe x à 1/h(x). Avec h(x) = x + 1, il vaut 1/(x + 1), et non 1/x.
Limites et pièges
Entrée nulle. L'écriture 1/0 n'a pas de valeur réelle : la courbe présente une coupure en x = 0. Il faut exclure zéro du domaine, et non lui attribuer une valeur « infinie ».
Décroissance par intervalles. La fonction décroît sur ]−∞, 0[ et sur ]0, +∞[, mais pas sur leur réunion. Par exemple, −1 < 1 tandis que f(−1) = −1 < f(1) = 1. Il faut étudier séparément les deux composantes du domaine.
Passage par zéro dans une intégrale. Une intégrale de 1/t sur un intervalle qui contient 0 n'est pas une intégrale ordinaire : l'intégrande n'y est pas définie et l'intégrale impropre diverge. Il faut conserver des bornes du même côté de zéro.
Asymptote et intersection. Dire que les axes sont des asymptotes ne signifie pas que la courbe finit par les atteindre. Pour toute entrée finie et non nulle, 1/x reste non nul ; aucun point du graphe n'appartient à un axe.
Pour aller plus loin
La fonction inverse relie trois regards sur une même règle : son graphe hyperbolique, sa variation gouvernée par la dérivée −1/x² et l'apparition du logarithme lorsqu'on intègre 1/x sur un intervalle qui ne traverse pas zéro. Les étudier ensemble montre comment une formule algébrique détermine à la fois une forme géométrique et des propriétés d'analyse.
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