AnalyseObjet mathématique · Glossaire
fonction racine carrée
La fonction racine carrée est définie sur l'ensemble des réels positifs ou nuls ℝ₊ comme la fonction réciproque de la restriction de la fonction carré à ℝ₊. Pour tout réel b ≥ 0, la racine carrée de b, notée √b, est l'unique réel a ≥ 0 tel que a² = b. On a donc l'équivalence : a = √b ⟺ a² = b, a ≥ 0 et b ≥ 0. La fonction racine carrée est croissante sur ℝ₊, continue, et dérivable sur ℝ₊* avec (√x)' = 1 / (2√x). Elle n'est pas dérivable en 0, où la courbe représentative admet une tangente verticale. Dans ℂ, tout complexe non nul admet deux racines carrées opposées, et la notion d'une racine carrée « principale » nécessite de choisir une branche de l'argument ; la convention usuelle retient l'argument principal dans ]−π, π].
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la fonction racine carrée à la fonction carré restreinte aux réels positifs ou nuls.
- Calculer √144 à partir de l’aire d’un carré et contrôler le résultat.
- Distinguer √b des deux solutions possibles de l’équation x² = b.
- Situer la croissance, la dérivée pour x > 0 et la tangente verticale en zéro.
- Traiter correctement les entrées négatives et la convention de racine principale dans les complexes.
En clair
Un carré couvre 144 cm². Quelle longueur donner à chacun de ses côtés ? Il faut chercher le nombre positif dont le carré vaut 144 : ce nombre est 12, car 12 × 12 = 144. On écrit √144 = 12. La fonction racine carrée effectue ce retour de l’aire vers le côté. À chaque nombre positif ou nul, elle associe un seul résultat, toujours positif ou nul.
Définition
La fonction racine carrée, notée f, s’applique aux nombres réels positifs ou nuls, l’ensemble ℝ₊. Pour un réel de cet ensemble noté x, sa valeur f(x) = √x est l’unique réel positif ou nul, noté y, dont le carré vaut x. Autrement dit : .
La fonction carré envoie y sur y². Restreinte aux réels positifs ou nuls, elle est réciproque de la fonction racine carrée : chacune défait l’action de l’autre. La fonction racine carrée est croissante et continue sur ℝ₊. Sur les réels strictement positifs, elle est dérivable et sa dérivée vaut . En x = 0, cette dérivée n’existe pas et la courbe admet une tangente verticale.
Dans l’ensemble ℂ des nombres complexes, la situation change. Tout complexe non nul possède deux racines carrées opposées. Employer l’expression « la racine carrée principale » exige alors de choisir une branche de l’argument. Avec la convention usuelle Arg(z) ∈ ]−π, π], si z a pour module r et pour argument principal θ, on retient la racine de module √r et d’argument θ/2.
De quoi c'est fait
Cinq éléments décrivent la fonction. Son domaine est ℝ₊ : aucune entrée réelle négative n’est admise. Sa règle associe à chaque entrée x l’unique sortie positive ou nulle y telle que y² = x. Son ensemble de valeurs est encore ℝ₊. Son graphe rassemble les points de coordonnées (x ; √x). Enfin, sa dérivée mesure la pente pour x > 0.
Le domaine rend la règle univoque dans les réels : imposer y ≥ 0 écarte la seconde solution négative de l’équation y² = x. La règle détermine ensuite chaque point du graphe, tandis que la dérivée dépend de cette même règle et n’est définie qu’en dehors de 0. La couleur, l’échelle et l’épaisseur du tracé ne définissent pas la fonction. Le domaine et la règle suffisent à calculer toutes ses valeurs et à construire sa courbe.
Un exemple, pas à pas
On cherche la longueur du côté d’un carré dont l’aire vaut 144 cm². Données : la figure est un carré, son aire est 144 cm² et la longueur cherchée, notée c, doit être positive ou nulle.
1. L’aire d’un carré étant le carré de son côté, la donnée se traduit par .
2. On cherche la décomposition de 144 en deux facteurs égaux : .
3. Comme une longueur n’est pas négative, on retient c = 12. Ainsi, √144 = 12 et le côté mesure 12 cm.
4. Le contrôle refaisable consiste à recalculer l’aire : 12 cm × 12 cm = 144 cm². Le quadrillage d’un carré de douze unités de côté rend visible ce produit de 12 lignes par 12 colonnes.
En pratique
Pour retrouver le côté d’un carré à partir de son aire, on prend la racine carrée de l’aire. Avec 144 cm², le côté mesure √144 = 12 cm. Si la figure est un rectangle dont un côté est déjà connu, il faut plutôt diviser l’aire par cette longueur.
Pour résoudre une équation comme x² = 144, la question demande tous les nombres dont le carré vaut 144 : les solutions sont 12 et −12. Si l’on demande seulement √144, la fonction renvoie 12, car sa valeur est par convention positive ou nulle.
Pour contrôler une racine carrée annoncée, on élève le résultat au carré et l’on vérifie qu’il redonne le nombre de départ. Quand le nombre n’est pas un carré parfait, une valeur décimale approchée convient ; pour une preuve exacte, on conserve l’écriture avec le symbole √.
À ne pas confondre
Fonction carré. Elle transforme un réel x en x², tandis que la fonction racine carrée part d’un réel positif ou nul et retrouve sa racine positive ou nulle. Ainsi, la fonction carré envoie −12 sur 144, mais √144 vaut 12, jamais −12.
Fonction inverse. En français scolaire, la fonction inverse associe à un réel non nul x le quotient 1/x. Une fonction réciproque, elle, défait l’action d’une autre fonction. Pour 144, l’inverse vaut 1/144, alors que la réciproque de la fonction carré restreinte à ℝ₊ donne √144 = 12.
Solutions de x² = b. Lorsque le réel b est strictement positif, l’équation possède deux solutions réelles opposées, √b et −√b. La notation √b désigne une seule valeur, positive ou nulle. Pour b = 144, l’équation admet 12 et −12, mais la racine carrée vaut 12.
Limites et pièges
Entrée négative dans les réels. La fonction réelle n’accepte que x ≥ 0. Une calculatrice réglée sur les réels signale donc une erreur pour √(−1). Il faut soit constater l’absence de valeur réelle, soit annoncer que l’on passe dans l’ensemble des complexes.
Point charnière x = 0. La fonction est continue en 0, mais sa dérivée n’y existe pas. Le graphe y arrive avec une tangente verticale. Il ne faut donc pas remplacer ce comportement par une pente finie ; la formule ne vaut que pour x > 0.
Carré d’un nombre négatif. L’écriture √(x²) ne redonne pas toujours x, car une racine carrée réelle est positive ou nulle. Elle vaut la valeur absolue de x : . Avec x = −12, on obtient √144 = 12.
Choix dans les complexes. Tout complexe non nul possède deux racines carrées opposées. Une réponse qui parle de « la » racine principale sans annoncer de convention est incomplète. Il faut préciser la convention choisie avant de privilégier l’une des deux valeurs.
Pour aller plus loin
fonction carré — Elle montre l’opération que la racine carrée défait lorsque l’on se limite aux nombres positifs ou nuls.
fonction réciproque — Elle précise pourquoi une restriction de domaine est nécessaire pour inverser sans ambiguïté la fonction carré.
Des nombres pas si complexes — Cet article ouvre le cadre où les nombres négatifs possèdent des racines carrées.
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