AnalyseObjet mathématique · Glossaire
fonction carré
La fonction carré est la fonction numérique f définie sur ℝ par f(x) = x², qui associe à tout réel x son carré. Elle constitue l'un des exemples fondamentaux de fonction polynomiale de degré deux. Sa courbe représentative est une parabole de sommet l'origine, d'axe de symétrie l'axe des ordonnées. La fonction carré est paire (f(−x) = f(x)), décroissante sur ]−∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[. Sa dérivée est f'(x) = 2x. Elle est positive sur ℝ tout entier et ne s'annule qu'en x = 0.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Calculer l’image d’un réel par la fonction carré.
- Relier la parité à la symétrie de la parabole.
- Distinguer les variations avant et après 0.
- Éviter les erreurs de signe et l’ambiguïté des deux antécédents.
En clair
Écrivez −3 et multipliez ce nombre par lui-même : (−3) × (−3) = 9. Avec 3, le même geste donne aussi 9. La fonction carré transforme ainsi chaque nombre réel en un résultat positif ou nul, sans conserver son signe.
Quand on place tous les couples nombre-résultat dans un repère, ils dessinent une parabole. Les deux moitiés de cette courbe se répondent de part et d’autre de l’axe vertical, car deux nombres opposés ont le même carré.
Définition
La fonction carré est une fonction numérique définie sur l’ensemble des nombres réels. On la note f. Pour tout nombre réel x, elle associe à x le produit de x par lui-même : . C’est une fonction polynomiale de degré deux. Sa valeur est toujours positive ou nulle, et .
La fonction est paire : pour tout réel x, . Sa courbe est donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Cette courbe est une parabole dont le sommet est l’origine. Lorsque x va des valeurs négatives vers 0, f décroît sur ]−∞ ; 0]. À partir de 0, elle croît sur [0 ; +∞[. Sa dérivée, c’est-à-dire la fonction qui donne le taux de variation instantané, est . Son signe négatif avant 0 et positif après 0 confirme ces deux sens de variation.
De quoi c'est fait
La fonction carré repose sur quatre éléments. Son domaine est l’ensemble ℝ : tout nombre réel peut entrer dans le calcul. L’entrée est un réel x. La règle multiplie ce nombre par lui-même. La sortie est le réel x², toujours positif ou nul.
L’entrée détermine donc entièrement la sortie. Cependant, la sortie ne détermine pas toujours une entrée unique : 9 provient aussi bien de −3 que de 3. Cette dépendance explique à la fois la parité de la fonction et la symétrie de sa courbe.
Dans un repère, l’axe horizontal porte les entrées et l’axe vertical les sorties. L’origine est le sommet de la parabole et l’axe vertical son axe de symétrie. L’échelle, la couleur et l’épaisseur du tracé ne définissent pas la fonction ; la règle x ↦ x² suffit à calculer chaque point.
Un exemple, pas à pas
Prenons l’entrée x = −3. Les deux données sont la règle f(x) = x² et la valeur x = −3. Nous voulons calculer l’image de −3, puis placer le point correspondant dans un repère.
1. Remplaçons x par −3 : .
2. Le carré signifie que le nombre se multiplie par lui-même : (−3) × (−3) = 9.
3. Le résultat est donc f(−3) = 9. Le point P associé a pour coordonnées (−3 ; 9).
2. Le carré signifie que le nombre se multiplie par lui-même : (−3) × (−3) = 9.
3. Le résultat est donc f(−3) = 9. Le point P associé a pour coordonnées (−3 ; 9).
La courbe permet de situer P et le point Q de coordonnées (3 ; 9). Ils sont à la même hauteur et à la même distance de l’axe vertical, ce qui rend visible la symétrie de la fonction paire.
4. Pour contrôler le calcul, prenons l’opposé de −3 : . Les deux résultats coïncident comme l’exige la parité de la fonction carré.
En pratique
Pour obtenir l’aire d’un carré à partir de la longueur positive de son côté, appliquez la fonction carré. Un côté de 3 unités donne une aire de 9 unités carrées. Pour retrouver la longueur depuis l’aire, la racine carrée est l’opération adaptée.
Pour tracer la courbe, choisissez quelques entrées de part et d’autre de 0, calculez leurs carrés, puis placez les couples obtenus. Les valeurs opposées servent de contrôle : −3 et 3 doivent produire des points de même hauteur.
Pour comparer l’éloignement de deux nombres par rapport à 0, leurs carrés donnent le même classement que leurs valeurs absolues. La valeur absolue reste préférable si l’on veut conserver directement la distance, sans la transformer au carré.
À ne pas confondre
Fonction carré et fonction racine carrée. La première envoie −3 sur 9 ; la seconde part d’un nombre positif ou nul et renvoie sa racine positive. Ainsi, la racine carrée de 9 vaut 3, et non ±3.
Fonction carré et fonction polynôme de degré deux. La fonction carré est précisément x ↦ x². Une fonction comme x ↦ x² + 1 est aussi de degré deux, mais sa valeur en 0 est 1 : ce n’est pas la fonction carré.
Fonction et parabole. La fonction est la règle qui associe une sortie à chaque entrée. La parabole est sa représentation graphique dans un repère. Changer l’échelle du dessin modifie l’apparence de la courbe, jamais la règle f(x) = x².
Limites et pièges
Un signe négatif sans parenthèses. Le carré de −3 s’écrit (−3)² et vaut 9. L’écriture −3² signifie au contraire −(3²) et vaut −9. Il faut entourer le nombre négatif avant de l’élever au carré.
Une croissance qui n’est pas globale. De −3 à −2, l’entrée augmente mais son carré passe de 9 à 4. La fonction décroît jusqu’au seuil x = 0, puis croît. Il faut donc séparer les deux intervalles de variation.
Deux antécédents possibles. Pour une valeur strictement positive comme 9, la fonction carré admet deux entrées : −3 et 3. À la valeur charnière 0, elle n’en admet qu’une. On ne peut donc pas inverser la fonction sur tout ℝ sans restreindre son domaine.
Fonction et dérivée. La valeur de la fonction est x², tandis que 2x mesure son taux de variation instantané. En x = −3, ces nombres valent respectivement 9 et −6. Il faut choisir la formule selon la quantité demandée.
Pour aller plus loin
parabole — Pour approfondir la forme géométrique de la courbe et ses propriétés.
Fonction paire — Pour relier l’égalité f(−x) = f(x) à la symétrie graphique.
fonction polynôme — Pour situer la fonction carré parmi les fonctions polynomiales.
fonction racine carrée — Pour étudier l’opération inverse lorsque l’entrée de la fonction carré est positive ou nulle.
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