fonction hölderienne

Sur la courbe qui associe à un nombre positif sa racine carrée, rapprocher deux nombres d'entrée rapproche aussi leurs images. Surtout, l'écart vertical ne peut pas dépasser la racine carrée de l'écart horizontal. Une variation brusque reste donc encadrée à toutes les échelles.

Une condition de Hölder exprime précisément ce contrôle. Son exposant α indique comment la borne réagit quand les points se rapprochent : plus α est grand, plus l'écart autorisé diminue vite aux petites distances.

Une fonction hölderienne relie deux espaces où une distance est définie. Notons E l'espace de départ, F l'espace d'arrivée, d_E et d_F leurs distances, et f la fonction de E vers F. Pour un exposant α compris entre 0 exclu et 1 inclus, f est α-hölderienne s'il existe une constante C strictement positive telle que, pour tous points x et y de E :

La même constante C doit fonctionner partout dans E ; elle est appelée constante de Hölder. Toute valeur de C qui satisfait cette exigence est admissible. Quand α = 1, l'inégalité est exactement une condition de Lipschitz. Quand 0 < α < 1, elle autorise davantage de variation à très petite distance qu'une borne lipschitzienne. Dans tous les cas, elle entraîne la continuité uniforme : pour imposer un écart d'images inférieur à un nombre ε positif, il suffit d'imposer un écart d'entrées inférieur à $(\epsilon \mathrm{/}C{)}^{1\mathrm{/}\alpha }(\backslash varepsilon/C)^\{1/\backslash alpha\}$.

La structure repose sur six données. L'espace E fournit les entrées et sa distance d_E mesure leur écart. L'espace F contient les images et sa distance d_F mesure leur écart. La fonction f associe une image à chaque entrée. Enfin, l'exposant α et la constante C règlent la borne de variation.

Les deux distances sont indispensables, car l'écart dans F est comparé à une puissance de l'écart dans E. L'exposant ne suffit pas sans une constante valable pour toutes les paires de points. Ces données permettent de majorer chaque variation de f et d'en déduire un seuil d'entrée adapté à toute précision demandée sur les images. Le tracé, l'échelle graphique ou la couleur d'une courbe ne font pas partie de la définition.

Étudions la fonction f définie sur les réels positifs par f(x) = √x, avec la distance usuelle. Les données sont l'exposant α = 1/2 et la constante candidate C = 1. Nous vérifierons aussi les points x = 1 et y = 9.

1. Supposons x ≥ y. La différence des racines vérifie $\sqrt{x}-\sqrt{y}=\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\backslash sqrt\{x\}-\backslash sqrt\{y\}=\backslash frac\{x-y\}\{\backslash sqrt\{x\}+\backslash sqrt\{y\}\}$.

2. Comme √x + √y ≥ √(x − y), on obtient $\mid \sqrt{x}-\sqrt{y}\mid \le \sqrt{\mid x-y\mid }\backslash lvert\backslash sqrt\{x\}-\backslash sqrt\{y\}\backslash rvert\backslash le\backslash sqrt\{\backslash lvert\; x-y\backslash rvert\}$. Par symétrie, cette borne vaut quel que soit l'ordre de x et y. La figure met en regard l'écart des entrées et celui des images.

3. Pour x = 1 et y = 9, l'écart des images vaut |1 − 3| = 2. La borne vaut √|1 − 9| = √8 ≈ 2,83, donc 2 ≤ √8.

4. Le contrôle est exact : en élevant au carré, 2 ≤ √8 devient 4 ≤ 8. La fonction racine carrée est donc 1/2-hölderienne sur [0, +∞[ avec C = 1.

Pour contrôler une fonction donnée par une formule, on part de la différence |f(x) − f(y)| et on cherche une borne en |x − y|^α dont la constante ne dépend ni de x ni de y. Si la constante dépend des points, la vérification globale n'est pas achevée.

Pour décrire la régularité d'un signal ou d'une courbe, l'exposant traduit l'amplitude maximale des oscillations à petite échelle. Une estimation lipschitzienne est préférable lorsqu'une borne proportionnelle à la distance est disponible ; une borne hölderienne reste utile quand cette proportionnalité est trop forte.

Dans l'étude des équations aux dérivées partielles elliptiques, les espaces C^k,α regroupent des fonctions dont les dérivées d'ordre k ont une régularité hölderienne. Ils servent à formuler une précision plus fine que la seule existence de dérivées continues.

Fonction hölderienne et fonction lipschitzienne. Une borne lipschitzienne utilise la première puissance de la distance. La racine carrée sur [0, +∞[ est 1/2-hölderienne, mais elle n'est pas lipschitzienne : le quotient |√x − √0|/|x − 0| = 1/√x devient arbitrairement grand près de 0.

Condition de Hölder et continuité uniforme. La continuité uniforme exige qu'un même seuil d'entrée convienne partout, mais elle n'impose pas une borne en puissance. La fonction f(x) = 1/|ln x|, prolongée par f(0) = 0 sur [0, 1/2], est uniformément continue sans être α-hölderienne en 0 pour aucun α positif.

Exposant charnière. À α = 1, la condition devient lipschitzienne. La définition usuelle de cette fiche s'arrête à 1 : sur un intervalle réel, une estimation globale d'exposant strictement supérieur à 1 forcerait la fonction à être constante.

Domaine non borné. Changer d'exposant n'est pas automatique. Sur un domaine borné, une fonction α-hölderienne est aussi β-hölderienne pour 0 < β < α, après ajustement de la constante. Sur ℝ, la fonction f(x) = x est lipschitzienne mais n'est pas globalement 1/2-hölderienne, car |x| ne reste pas borné par C√|x| quand |x| grandit.

Constante non uniforme. Prouver une estimation avec une constante différente autour de chaque point établit au mieux une propriété locale. Pour conclure à la condition globale, il faut exhiber un seul C valable pour toutes les paires du domaine, ou annoncer explicitement que le résultat est seulement local.

Meilleur exposant. Dire qu'une fonction est 1/2-hölderienne ne signifie pas que 1/2 est son exposant optimal. Une fonction constante satisfait la condition pour tout exposant entre 0 et 1. Pour revendiquer un exposant maximal, il faut aussi montrer l'échec des exposants plus grands.

continuité uniforme — Examiner la propriété garantie par toute condition de Hölder et la façon dont un même seuil vaut sur tout le domaine.

fonction continue — Replacer la régularité hölderienne parmi les différentes manières de contrôler le comportement local d'une fonction.