AnalyseNotion · Glossaire
Localement lipschitzienne
Une fonction entre espaces métriques est dite localement lipschitzienne si tout point de son domaine possède un voisinage sur lequel la fonction est lipschitzienne. Contrairement à la condition lipschitzienne globale, la constante de Lipschitz peut varier d'un voisinage à l'autre. Cette propriété est plus faible que la condition lipschitzienne globale, mais plus forte que la simple continuité. Elle intervient notamment dans le théorème de Cauchy-Lipschitz pour l'existence et l'unicité de solutions d'équations différentielles ordinaires.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter le rôle du voisinage et de la constante locale.
- Vérifier la propriété pour la fonction x↦x² sur un intervalle borné.
- Distinguer continuité, condition locale et condition lipschitzienne globale.
- Situer l'hypothèse utilisée pour l'unicité dans le théorème de Cauchy-Lipschitz.
En clair
Sur la courbe de la fonction qui associe x² au nombre x, observons seulement les abscisses comprises entre 0 et 2. Dans cette fenêtre, deux entrées proches donnent des sorties dont l'écart reste au plus quatre fois celui des entrées.
La fonction est donc contrôlable autour de chaque point, même si l'on doit changer de fenêtre et de facteur ailleurs. C'est le sens de « localement lipschitzienne » : un contrôle proportionnel existe à petite échelle autour de tout point, sans qu'un facteur unique soit nécessaire sur tout le domaine.
Définition
Soient deux espaces métriques X et Y, munis respectivement des distances dX et dY, et une fonction f de X vers Y. La fonction f est localement lipschitzienne si, pour chaque point a de X, il existe un voisinage U de a et un nombre réel L positif ou nul tels que l'inégalité suivante soit vraie pour tous les points x et y de U.
Le voisinage U et la constante de Lipschitz L peuvent dépendre du point a. Une fonction globalement lipschitzienne satisfait au contraire une même inégalité sur tout X avec une seule constante. Toute fonction localement lipschitzienne est continue, mais la réciproque est fausse. Sur chaque partie compacte de son domaine, sa restriction est globalement lipschitzienne : la compacité permet de remplacer les contrôles locaux par un contrôle uniforme sur cette partie.
Un exemple, pas à pas
Considérons la fonction f définie sur les nombres réels par f(x)=x². Nous étudions le voisinage U formé des nombres strictement compris entre 0 et 2. Les données sont deux points x et y de U et la factorisation x²−y²=(x−y)(x+y).
1. La factorisation donne |f(x)−f(y)|=|x−y|·|x+y|.
2. Comme 0<x<2 et 0<y<2, on a |x+y|<4.
3. On obtient donc |f(x)−f(y)|≤4|x−y|. La figure matérialise cette fenêtre locale et contrôle le calcul avec x=0,5 et y=1,5.
4. La constante L=4 convient sur U. Le même raisonnement fonctionne autour de tout réel en choisissant un intervalle borné adapté.
Le contrôle est bien local, pas global : entre n et n+1, le quotient des écarts vaut 2n+1. Il devient arbitrairement grand lorsque l'entier n augmente. Aucun nombre L unique ne convient donc sur toute la droite réelle.
En pratique
Pour établir la propriété sur un intervalle réel, on cherche souvent un voisinage où la dérivée existe et reste bornée. Le théorème des accroissements finis fournit alors une constante locale. Si la dérivée n'est pas disponible, une majoration directe des écarts, comme pour x², reste l'alternative.
Dans une équation différentielle, on vérifie le contrôle par rapport à la variable inconnue, en plus des hypothèses de continuité requises. Le théorème de Cauchy-Lipschitz donne alors une solution locale unique. Une simple continuité peut assurer une existence dans d'autres théorèmes, mais pas cette unicité.
Pour contrôler une fonction sur une zone de calcul compacte, des estimations locales suffisent à obtenir une constante valable sur toute cette zone. Si les points étudiés peuvent s'échapper sans borne, il faut au contraire rechercher un contrôle global ou limiter explicitement le domaine.
À ne pas confondre
Continuité. La continuité exige seulement que les sorties se rapprochent lorsque les entrées se rapprochent, sans borne proportionnelle. La fonction x↦√|x| est continue en 0, mais le quotient entre les écarts vaut 1/√x pour x>0 et devient sans borne près de 0.
Condition lipschitzienne globale. Elle impose une seule constante sur tout le domaine. La fonction x↦x² est localement lipschitzienne sur la droite réelle, mais elle n'est pas globalement lipschitzienne, car les quotients 2n+1 obtenus entre n et n+1 ne sont pas bornés.
Dérivabilité en un point. Une dérivée finie en a ne contrôle pas nécessairement tous les couples de points voisins. La fonction définie par f(0)=0 et f(x)=x²·sin(1/x²) lorsque x≠0 est dérivable en 0, mais sa dérivée est sans borne près de 0 ; elle n'y est donc pas localement lipschitzienne.
Limites et pièges
Voisinage relatif au domaine. À une extrémité incluse, le voisinage se lit dans le domaine lui-même. Sur [0,1], il peut donc être de la forme [0,ε) autour de 0 ; il ne faut pas exiger un intervalle ouvert de la droite contenu dans [0,1].
Constantes qui explosent près d'un bord absent. La fonction x↦1/x est localement lipschitzienne sur (0,1), mais aucune constante globale n'y convient. Il faut borner le domaine loin de 0, par exemple sur [ε,1] avec ε>0, avant de demander un contrôle uniforme.
Contrôle ponctuel insuffisant. Vérifier seulement |f(x)−f(a)|≤L|x−a| ne contrôle pas automatiquement |f(x)−f(y)| pour deux points quelconques du voisinage. Il faut démontrer l'inégalité à deux points exigée par la définition.
Équations différentielles. Dire seulement que le champ est localement lipschitzien est ambigu : pour l'unicité locale usuelle, le contrôle porte sur la variable d'état, localement et de façon uniforme en temps sur le rectangle considéré. Il faut aussi vérifier les hypothèses de continuité du théorème employé.
Pour aller plus loin
La fiche Rademacher (théorème de) prolonge l'étude en reliant les fonctions lipschitziennes sur un espace euclidien à la dérivabilité presque partout.
La fiche Différentielle précise l'outil linéaire qui, lorsqu'il reste localement borné dans un cadre adapté, aide à obtenir des estimations lipschitziennes.
La continuité uniforme offre un autre contrôle valable sur tout un domaine ; sa comparaison avec une borne proportionnelle affine la hiérarchie des régularités.
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