Lipstchitzien

Imaginez deux nombres espacés de 3 unités. Après leur passage dans une fonction, leurs résultats peuvent être plus éloignés, mais une fonction lipschitzienne impose un plafond à cet éloignement. Avec une constante égale à 2, la distance entre les résultats ne dépassera jamais 6 unités.

La fonction peut donc étirer les distances, mais pas de façon arbitraire. Un même facteur maximal fonctionne pour toutes les paires de points de son domaine.

Soient un espace métrique X muni d’une distance d_X, un espace métrique Y muni d’une distance d_Y, et une application f de X vers Y. L’application f est lipschitzienne s’il existe un nombre réel K positif ou nul tel que, pour tous points x et y de X, $d_Y(f(x),f(y))\le K{d}_X(x,y)d\_Y(f(x),f(y))\; \backslash le\; K\; d\_X(x,y)$. Ce même K doit convenir sur tout le domaine. On l’appelle une constante de Lipschitz de f.

Une constante admissible n’est généralement pas unique : si K convient, toute constante plus grande convient aussi. La plus petite borne possible décrit l’étirement maximal de l’application. Le cas K = 0 caractérise les applications constantes.

La majoration entraîne la continuité uniforme : une même précision sur les entrées suffit partout dans X. Elle entraîne donc la continuité. Lorsque K est strictement inférieur à 1, f rapproche toutes les paires de points : c’est une application contractante, cadre du théorème du point fixe de Banach lorsque l’espace de départ est complet et que f l’envoie dans lui-même.

Considérons sur les nombres réels la fonction f définie par $f(t)=2t+1f(t)=2t+1$. Les données choisies sont deux entrées x = 1 et y = 4, ainsi que la constante candidate K = 2.

1. La distance entre les entrées vaut |4 − 1| = 3.

2. Les images sont f(1) = 3 et f(4) = 9. Leur distance vaut |9 − 3| = 6.

3. La borne annoncée vaut K|4 − 1| = 2 × 3 = 6. Ici, la distance entre les images atteint exactement cette borne.

4. Le même calcul vaut pour deux réels quelconques a et b : $\mathrm{\mid }f(b)-f(a)\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }2b+1-(2a+1)\mathrm{\mid }=2\mathrm{\mid }b-a\mathrm{\mid }|f(b)-f(a)|=|2b+1-(2a+1)|=2|b-a|$. La constante 2 fonctionne donc sur tout ℝ, pas seulement pour la paire testée. Le contrôle consiste à refaire l’égalité avec, par exemple, a = 0 et b = 5 : les distances obtenues sont 5 et 10.

Pour contrôler la propagation d’une erreur, une constante de Lipschitz transforme une incertitude sur l’entrée en borne sur la sortie. Avec K = 2, une variation d’au plus 0,01 sur l’entrée produit une variation d’au plus 0,02 sur la valeur de la fonction.

Sur un intervalle réel, une dérivée bornée fournit souvent le test le plus direct. Si la valeur absolue de la dérivée reste inférieure ou égale à M, le théorème des accroissements finis donne une constante de Lipschitz M. Quand la fonction n’est pas dérivable, il faut revenir directement à la comparaison des distances.

Dans une méthode itérative, on recherche une constante strictement inférieure à 1. Ce seuil montre que deux trajectoires se rapprochent à chaque étape ; avec une constante supérieure ou égale à 1, l’argument de contraction ne conclut plus.

Continuité et propriété lipschitzienne. La continuité contrôle la fonction au voisinage de chaque point, tandis que la propriété lipschitzienne exige un facteur global commun. La fonction racine carrée est continue sur [0, 1], mais elle n’y est pas lipschitzienne : entre 0 et h positif, le quotient des distances vaut 1/√h et devient arbitrairement grand.

Continuité uniforme et propriété lipschitzienne. Les deux utilisent un contrôle valable partout, mais seule la seconde impose une borne proportionnelle à la distance d’entrée. La racine carrée sur [0, 1] est uniformément continue sans être lipschitzienne.

Application contractante et application lipschitzienne. Une contraction est lipschitzienne avec une constante strictement inférieure à 1. La fonction f(t) = 2t + 1 est lipschitzienne de constante 2, mais elle n’est pas contractante.

Une paire de points ne suffit pas. Obtenir le bon rapport pour x = 1 et y = 4 ne démontre rien à soi seul. Il faut établir la même majoration pour toutes les paires du domaine, comme dans le calcul général avec a et b.

La constante annoncée n’est pas forcément optimale. Pour f(t) = 2t + 1, les nombres 2, 3 ou 10 sont tous des constantes de Lipschitz. Le seuil minimal vaut 2, car le rapport des distances vaut exactement 2 dès que les deux entrées sont distinctes.

Local ne signifie pas global. La fonction carré est lipschitzienne sur tout intervalle borné, mais pas sur ℝ : son taux d’accroissement devient sans borne lorsque les entrées grandissent. Il faut alors préciser le domaine ou employer la notion de fonction localement lipschitzienne.

Le seuil K = 1 est charnière. Une constante égale à 1 garantit seulement que les distances n’augmentent pas. Le théorème du point fixe de Banach exige une contraction stricte, donc une constante K < 1, ainsi qu’un espace complet et une application de cet espace dans lui-même.

La continuité uniforme précise la conséquence globale obtenue dès qu’une constante de Lipschitz existe, sans imposer elle-même une croissance linéaire.

Le théorème du point fixe montre pourquoi le cas K < 1 est décisif : sous les hypothèses de complétude, l’itération converge vers un unique point fixe.

Le théorème de Cauchy-Lipschitz emploie une hypothèse lipschitzienne locale pour assurer l’unicité d’une solution d’équation différentielle dans son cadre d’application.

En dimension finie, le théorème de Rademacher va dans une autre direction : une application lipschitzienne entre espaces euclidiens est différentiable presque partout, même si elle ne l’est pas en chaque point.