continuité uniforme

Imaginez deux curseurs placés sur l’intervalle [0, 2], auxquels la fonction f associe leur carré. Si les curseurs sont distants de moins de 0,1, leurs images diffèrent de moins de 0,4, où qu’ils soient dans l’intervalle.

La continuité uniforme exprime cette règle commune : pour une précision choisie sur les valeurs de sortie, une seule marge sur les entrées fonctionne partout dans le domaine. Il n’est pas nécessaire de resserrer cette marge selon le point observé.

Soit A une partie de ℝ et f une fonction de A dans ℝ. La lettre ε désigne une tolérance strictement positive sur les valeurs de f. La lettre η désigne une tolérance strictement positive sur les entrées. La fonction f est uniformément continue lorsque, pour chaque ε, on peut choisir un η qui convient à toutes les paires de points de A : $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\eta >0,\mathrm{\forall }x,y\in A,\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }<\eta \Rightarrow \mathrm{\mid }f(x)-f(y)\mathrm{\mid }<\epsilon \backslash forall\; \backslash varepsilon\backslash gt\; 0,\backslash \; \backslash exists\; \backslash eta\backslash gt\; 0,\backslash \; \backslash forall\; x,y\backslash in\; A,\backslash \; |x-y|\backslash lt\backslash eta\; \backslash Rightarrow\; |f(x)-f(y)|\backslash lt\backslash varepsilon$. Le choix de η peut dépendre de ε, mais pas de x ni de y.

La même idée vaut entre deux espaces métriques. Dans l’espace de départ E, la distance entre x et y est notée d(x, y). Dans l’espace d’arrivée F, la distance entre leurs images est notée δ(f(x), f(y)). La condition devient : $d(x,y)<\eta \Rightarrow \delta (f(x),f(y))<\epsilon d(x,y)\backslash lt\backslash eta\; \backslash Rightarrow\; \backslash delta(f(x),f(y))\backslash lt\backslash varepsilon$, avec le même η pour toutes les paires de points de E.

Toute fonction uniformément continue est continue en chaque point. L’inverse n’est pas vrai sur un domaine quelconque. En revanche, la compacité fournit une hypothèse suffisante : toute fonction continue sur un espace compact est uniformément continue.

Considérons la fonction f définie par f(t) = t² sur l’intervalle [0, 2]. Les données sont deux entrées x et y de cet intervalle, ainsi qu’une tolérance de sortie ε strictement positive.

1. Sur [0, 2], la somme x + y est comprise entre 0 et 4.

2. L’identité $\mathrm{\mid }{x}^2-y^2\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }x+y\mathrm{\mid }|x^2-y^2|=|x-y|\backslash ,|x+y|$ donne donc $\mathrm{\mid }{x}^2-y^2\mathrm{\mid }\le 4\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }|x^2-y^2|\backslash leq\; 4|x-y|$.

3. Choisissons η = ε/4. Dès que |x − y| < η, on obtient |f(x) − f(y)| < ε. Ce même η fonctionne pour toutes les positions de x et y dans [0, 2].

Pour contrôler avec ε = 0,4, on prend η = 0,1. Par exemple, x = 1,50 et y = 1,58 donnent |x − y| = 0,08 et |f(x) − f(y)| = 2,4964 − 2,25 = 0,2464, bien inférieur à 0,4. La figure matérialise ce contrôle numérique sans remplacer la preuve valable sur tout l’intervalle.

Pour prouver une continuité uniforme, on cherche une majoration de |f(x) − f(y)| qui ne dépend pas de la position des points. Dans l’exemple du carré sur [0, 2], la majoration par 4|x − y| fournit directement η = ε/4.

Si le domaine est compact, il suffit souvent d’établir d’abord la continuité. Le théorème de continuité sur un compact donne alors l’uniformité. Hors d’un compact, ce raccourci n’est plus disponible et il faut produire une marge globale ou examiner les points qui s’échappent.

Pour réfuter l’uniformité, on peut chercher des entrées de plus en plus proches dont les images restent séparées. Sur ℝ, pour f(t) = t² et chaque entier positif n, les points n et n + 1/n se rapprochent, tandis que l’écart de leurs carrés vaut 2 + 1/n² et ne tend pas vers zéro.

Deux notions voisines utilisent une idée de contrôle des variations, mais elles ne demandent pas la même chose.

Dans la continuité simple, la marge d’entrée peut dépendre du point étudié. Dans la continuité uniforme, une marge unique doit fonctionner sur tout le domaine. La fonction t ↦ t² tranche : elle est continue sur ℝ, mais pas uniformément continue sur ℝ.

Une condition de Lipschitz impose une constante L telle que |f(x) − f(y)| ≤ L|x − y| pour toutes les paires. Elle entraîne la continuité uniforme en prenant η = ε/L lorsque L est positif. La réciproque échoue : la fonction t ↦ √t est uniformément continue sur [0, 1] par compacité, mais elle n’est pas lipschitzienne, car le quotient 1/√t devient arbitrairement grand près de zéro.

La compacité est une condition suffisante, pas une condition nécessaire. La fonction t ↦ t sur ℝ est uniformément continue, bien que ℝ ne soit pas compact : η = ε convient. Il ne faut donc pas conclure à l’échec dès que le domaine n’est pas compact.

Un η vérifié près d’un seul point ne prouve que la continuité locale à cet endroit. Le symptôme du piège est la présence du point dans la formule choisissant η. Il faut obtenir une borne valable simultanément pour toutes les paires du domaine.

Les formulations avec des inégalités strictes ou larges sont équivalentes après un éventuel resserrement des tolérances, mais elles ne doivent pas être mélangées au milieu d’un calcul. Avec ε = 0,4 dans l’exemple, le choix η = 0,1 garantit l’implication stricte annoncée.

Enfin, η n’est ni unique ni forcément optimal. Si une marge convient, toute marge positive plus petite convient aussi. Chercher la plus grande valeur possible peut compliquer inutilement une preuve qui demande seulement l’existence d’un choix global.

Le prolongement naturel consiste à comparer deux voies de preuve : construire directement une marge η indépendante du point, ou établir la continuité sur un compact puis appliquer le résultat fondamental. Cette comparaison aide à repérer exactement le rôle du domaine dans l’uniformité.