AnalyseNotion · Glossaire
Équicontinu
Une famille de fonctions est dite équicontinue en un point si toutes les fonctions de la famille sont continues en ce point avec le même module de continuité. Elle est équicontinue sur un ensemble si elle est équicontinue en chacun de ses points. Elle est uniformément équicontinue sur cet ensemble si, pour chaque ε > 0, le même δ peut être choisi indépendamment du point et de la fonction. Le théorème d'Arzelà-Ascoli affirme que toute suite bornée et équicontinue de fonctions continues sur un compact admet une sous-suite uniformément convergente.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le même contrôle ε-δ pour toutes les fonctions d'une famille.
- Vérifier l'équicontinuité sur l'exemple fₙ(x)=x/(n+1).
- Relier équicontinuité, borne commune, compacité et extraction uniformément convergente.
- Éviter de confondre équicontinuité, continuité uniforme et convergence uniforme.
En clair
Imaginez plusieurs courbes que l'on suit avec une loupe autour du même point. Chacune peut monter ou descendre, mais aucune ne doit devenir brusquement plus raide que les autres. En choisissant une zone assez étroite autour du point, on impose ainsi une même petite variation à toutes les courbes.
Cette maîtrise collective des variations est l'équicontinuité. Elle est plus exigeante que la simple continuité de chaque fonction prise séparément, car la taille de la zone choisie ne dépend pas de la fonction.
Définition
Considérons une famille F de fonctions définies sur un espace métrique X et à valeurs dans un espace métrique Y. La famille est équicontinue en un point x0 de X si, pour toute tolérance positive ε, il existe une distance positive δ qui convient simultanément à toutes les fonctions de F. Autrement dit, dès qu'un point x est à moins de δ de x0, les images de x et de x0 par une même fonction f de F sont à moins de ε dans Y.
En notant dX et dY les distances sur X et Y, le critère complet est :
Le nombre δ peut dépendre de ε et du point x0, mais pas de la fonction f. La famille est équicontinue sur X lorsque cette propriété vaut en chaque point. Si le même δ convient aussi pour tous les choix de x0, la famille est uniformément équicontinue. Sur un compact, l'équicontinuité en tout point fournit ce contrôle uniforme sur les points.
Une forme du théorème d'Arzelà-Ascoli s'applique à une suite de fonctions continues sur un compact : si la suite est équicontinue et uniformément bornée, alors elle possède une sous-suite qui converge uniformément vers une fonction continue. La borne et l'équicontinuité sont des propriétés de toute la suite, tandis que la conclusion peut ne concerner qu'une extraction.
Un exemple, pas à pas
Sur l'intervalle [0, 1], considérons les fonctions fn, où l'entier n est positif ou nul.
Données : x et y appartiennent à [0, 1] ; n ≥ 0 ; fn(x)=x/(n+1) ; une tolérance ε > 0 est fixée.
Données : x et y appartiennent à [0, 1] ; n ≥ 0 ; fn(x)=x/(n+1) ; une tolérance ε > 0 est fixée.
1. Calculer l'écart entre deux images donne .
2. Comme n+1 ≥ 1, cet écart est au plus égal à |x−y|. Choisir δ=ε garantit donc |fn(x)−fn(y)|<ε pour tout n : la famille est uniformément équicontinue.
3. Sur [0, 1], la plus grande valeur de |fn(x)| est 1/(n+1), atteinte en x=1. Cette quantité tend vers 0, donc toute la suite converge uniformément vers la fonction nulle.
Le contrôle est refaisable en prenant, par exemple, ε=0,1 : si |x−y|<0,1, l'écart des images reste inférieur à 0,1 pour chaque n. Ici, Arzelà-Ascoli garantit une sous-suite convergente, et le calcul établit le résultat plus fort pour la suite entière.
En pratique
Pour vérifier l'équicontinuité, on cherche d'abord une majoration commune des variations. Une inégalité comme |f(x)−f(y)|≤L|x−y|, avec la même constante L pour toute la famille, donne directement δ=ε/L lorsque L est positif. À défaut de constante commune, il faut revenir au critère en ε et δ.
Pour extraire une limite uniforme sur un compact, on contrôle séparément deux points : les fonctions ne s'échappent pas vers des valeurs arbitrairement grandes et leurs variations restent collectivement maîtrisées. Si la borne commune manque, Arzelà-Ascoli ne s'applique pas sous cette forme.
Pour réfuter l'équicontinuité en un point, on fixe une tolérance ε et l'on montre que chaque voisinage contient un contre-exemple fourni par une fonction de la famille. Tester seulement quelques fonctions ne suffit pas, car le défaut apparaît souvent lorsque leur indice grandit.
À ne pas confondre
Continuité uniforme d'une fonction. Elle impose un même δ en tous les points, mais ne porte que sur une fonction. L'équicontinuité impose d'abord un même δ à toutes les fonctions ; selon le cadre, δ peut encore dépendre du point. Une famille réduite à f(x)=x2 sur ℝ est équicontinue en chaque point, sans être uniformément continue sur ℝ.
Convergence uniforme. Elle compare les fonctions d'une suite à une fonction limite, tandis que l'équicontinuité compare leurs variations. La famille des fonctions constantes fn(x)=n est équicontinue, car toutes ses variations sont nulles, mais la suite ne converge pas uniformément vers une fonction réelle.
Limites et pièges
Continues une par une ne signifie pas équicontinues. Sur [0, 1], les fonctions fn(x)=xn sont continues, mais leurs variations se concentrent près de 1. Pour une tolérance fixée, aucun même δ ne convient à tous les indices ; il faut chercher un contrôle uniforme sur n.
Chaque fonction bornée ne donne pas une borne commune. Les fonctions constantes fn(x)=n sont individuellement bornées et équicontinues, mais leurs bornes croissent avec n. Elles n'ont aucune sous-suite uniformément convergente vers une fonction réelle ; le théorème demande une borne valable pour toute la suite.
Le compact est décisif dans l'énoncé cité. Hors d'un compact, une famille peut être équicontinue en chaque point sans posséder de contrôle uniforme sur tout le domaine. Sur ℝ, la famille réduite à x↦x2 présente ce symptôme ; il faut restreindre le domaine ou établir séparément une équicontinuité uniforme.
L'extraction n'est pas la convergence de la suite entière. La suite de fonctions constantes fn(x)=(−1)n est bornée et équicontinue sur tout compact. Ses termes alternent, mais les indices pairs forment une sous-suite uniformément convergente vers 1.
Pour aller plus loin
La continuité uniforme précise le contrôle global des variations pour une fonction unique et éclaire le rôle d'un δ indépendant du point.
La convergence uniforme décrit la conclusion obtenue après extraction dans le théorème d'Arzelà-Ascoli et la compare à la convergence simple.
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