AnalyseObjet mathématique · Glossaire
fonction presque périodique
Pour une fonction continue f de ℝ dans ℂ et ε > 0, un réel T non nul est une ε-période si l’écart entre f(t + T) et f(t) reste inférieur ou égal à ε pour tout réel t. La fonction f est presque périodique au sens de Bohr si, pour tout ε > 0, il existe une longueur l > 0 telle que chaque intervalle de longueur l contienne une ε-période. Ainsi, ses valeurs reviennent aussi près qu’on le souhaite, selon des décalages régulièrement répartis sur toute la droite réelle.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter une ε-période comme un décalage uniformément proche.
- Vérifier sur le sinus qu'un décalage non exact peut être une ε-période.
- Distinguer ensemble relativement dense, ensemble dense et observation sur une fenêtre finie.
- Relier la définition de Bohr à la compacité relative de la famille des translatées.
En clair
Imaginez une courbe dont un motif revient sans forcément se superposer exactement au précédent. On la décale horizontalement d'une certaine longueur. Si, partout sur la droite, l'écart entre la courbe décalée et la courbe initiale ne dépasse pas une tolérance ε, ce décalage est une ε-période.
Une fonction est presque périodique au sens de Bohr lorsque de tels retours approchés se présentent régulièrement, quelle que soit la précision demandée. On ne peut donc pas attendre arbitrairement longtemps avant d'en rencontrer un.
Définition
La notion s'applique à une fonction continue f définie sur la droite réelle ℝ et à valeurs complexes. On fixe un réel strictement positif ε, qui mesure l'erreur uniforme tolérée. Un décalage réel non nul T est une ε-période lorsque l'écart entre f et sa translatée reste inférieur ou égal à ε pour tout réel t :
L'ensemble de ces décalages est noté E(f, ε). La fonction f est presque périodique au sens de Bohr si, pour chaque ε strictement positif, il existe une longueur l strictement positive telle que tout intervalle de longueur l rencontre E(f, ε). On dit alors que E(f, ε) est relativement dense : ses éléments sont répartis sans lacunes arbitrairement longues, mais ils ne remplissent pas nécessairement chaque petit intervalle.
De façon équivalente, la famille de toutes les fonctions translatées est relativement compacte parmi les fonctions continues bornées pour la norme uniforme. Toute fonction continue périodique vérifie cette propriété. La condition de Bohr est toutefois plus large : certaines fonctions presque périodiques n'ont aucune période exacte.
De quoi c'est fait
Six éléments organisent la définition. La fonction continue f fournit les valeurs à comparer sur toute la droite. La tolérance ε fixe la précision demandée. Le nombre non nul T donne le décalage testé. Le supremum mesure le plus grand écart entre la fonction initiale et sa translatée, sans se limiter à une fenêtre d'observation.
Ces quatre éléments déterminent l'ensemble E(f, ε) des ε-périodes : changer ε change généralement cet ensemble. Plus la tolérance diminue, plus la condition imposée à T devient exigeante.
Enfin, la longueur l contrôle la répartition de E(f, ε). Elle peut dépendre de ε, mais aucun intervalle de cette longueur ne doit rester sans ε-période. Ce sont ces relations — erreur uniforme et retours sans lacunes arbitraires — qui définissent la presque-périodicité, non l'aspect visuel, l'échelle ou la couleur d'un tracé.
Un exemple, pas à pas
Prenons la fonction réelle f définie par f(t) = sin(t). Comparons sa courbe à une copie décalée d'un peu plus qu'une période. Le graphique matérialise le faible écart entre les deux courbes sur une période complète.
Données.
Fonction : f(t) = sin(t).
Tolérance : ε = 0,1.
Période exacte : P = 2π.
Décalage testé : T = 2π + 0,08.
Fonction : f(t) = sin(t).
Tolérance : ε = 0,1.
Période exacte : P = 2π.
Décalage testé : T = 2π + 0,08.
Étape 1. Comme ajouter 2π ne change pas le sinus, seul le supplément 0,08 intervient dans l'écart.
Étape 2. L'identité de différence des sinus donne l'écart uniforme exact :
Étape 3. Puisque 0,07998 est inférieur à 0,1, le nombre T est une 0,1-période de f. Il n'est pourtant pas une période exacte, car l'écart n'est pas nul.
Contrôle. Le décalage exact P = 2π donne un écart nul. Ses multiples non nuls apparaissent à intervalles réguliers ; ils suffisent déjà à confirmer que cette fonction périodique est presque périodique.
En pratique
Pour tester un décalage candidat, on compare f(t + T) à f(t) sur toute la droite et l'on cherche une borne uniforme. Une vérification sur quelques points ou sur une fenêtre finie ne suffit pas.
Lorsqu'un même décalage reproduit exactement toutes les valeurs, le cadre périodique est le plus direct. Si les retours ne sont qu'approchés mais restent disponibles sans lacunes arbitrairement longues à chaque précision, le cadre presque périodique devient pertinent.
Dans un raisonnement sur une suite de décalages, on peut aussi employer le critère équivalent des translatées. Il invite à contrôler la famille entière avec la norme uniforme, plutôt qu'à suivre séparément chaque valeur de t.
À ne pas confondre
Fonction périodique. Elle possède un décalage non nul P qui reproduit exactement toutes ses valeurs. Une fonction presque périodique exige plutôt des décalages approchés bien répartis pour chaque ε. La fonction sin(t) relève des deux notions, mais la réciproque annoncée par la définition est fausse.
Ensemble dense. Un ensemble dense rencontre chaque intervalle, aussi court soit-il. Un ensemble relativement dense doit seulement rencontrer chaque intervalle d'une certaine longueur fixée. Le réseau 2πℤ est relativement dense dans ℝ, mais il n'est pas dense.
Proximité ponctuelle. Constater f(t + T) proche de f(t) pour un seul t ne produit pas une ε-période. Le critère porte sur le supremum pour tous les réels ; un seul point où l'écart dépasse ε tranche contre le décalage candidat.
Limites et pièges
Le décalage nul est exclu. T = 0 donnerait toujours un écart nul et rendrait le test vide. Il faut donc chercher des ε-périodes non nulles.
La tolérance reste strictement positive. Le seuil ε = 0 ramène à l'égalité exacte, donc à la périodicité. Pour la presque-périodicité de Bohr, on vérifie la condition pour chaque ε > 0.
Une fenêtre finie peut tromper. Deux courbes peuvent sembler proches sur un intervalle choisi puis s'écarter ailleurs. Il faut borner le supremum sur ℝ, ou utiliser le critère équivalent de compacité relative dans la norme uniforme.
La longueur de contrôle dépend de la précision. Le nombre l n'a pas à fonctionner pour toutes les valeurs de ε. À mesure que la tolérance se resserre, les bons décalages peuvent s'espacer davantage ; il faut alors établir une nouvelle borne l.
Pour aller plus loin
La fonction continue précise l'hypothèse de régularité imposée dès la définition de Bohr.
La compacité - topologie - éclaire le sens du critère équivalent fondé sur la famille des translatées.
La série de Fourier prolonge l'étude des fonctions périodiques qui constituent le premier cas particulier de cette fiche.
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