compacité - topologie -

Imaginez le segment fermé allant de 0 à 1, couvert par une multitude d'intervalles ouverts qui débordent autour de ses points. Même si cette couverture en contient une infinité, quelques intervalles bien choisis suffisent toujours à couvrir tout le segment.

La compacité exprime cette possibilité de ramener un recouvrement ouvert, peut-être immense, à une sélection finie. Elle donne ainsi une forme de contrôle global à partir d'informations locales.

Soit un espace topologique X. Un recouvrement ouvert de X est une famille d'ouverts U_i, indexée par un ensemble I, dont la réunion contient X. Dans la convention de cette fiche, X est compact lorsqu'il est séparé et que tout recouvrement ouvert de X possède un sous-recouvrement fini. Être séparé signifie que deux points distincts de X ont toujours des voisinages ouverts disjoints.

Le nombre d'ouverts retenus n'est pas fixé à l'avance : il existe un entier n ≥ 0 et un n-uplet d'indices (i₁, …, i_n) de I tels que le critère de recouvrement s'écrit :La valeur n = 0 couvre le cas du recouvrement vide de l'espace vide. Dans certains ouvrages, le mot « compact » désigne seulement cette propriété de sous-recouvrement fini ; on dit alors « compact séparé » lorsque la condition de Hausdorff est ajoutée.

Dans l'espace euclidien ℝⁿ muni de sa topologie usuelle, le théorème de Heine–Borel donne un critère plus concret : un sous-ensemble est compact si et seulement s'il est fermé et borné. Cette équivalence dépend du cadre euclidien ; elle n'est pas la définition générale de la compacité.

Considérons le segment fermé [0, 1] dans ℝ. Données : pour chaque point x de [0, 1], l'ouvert U_x est l'intervalle ]x − 1/4, x + 1/4[. La famille contient donc un ouvert centré en chacun des points du segment.

1. Chaque point x appartient à U_x. La famille entière recouvre donc [0, 1].

2. Retenons seulement les cinq centres 0, 1/4, 1/2, 3/4 et 1. Les cinq intervalles associés se chevauchent successivement.

3. Tout point de [0, 1] se trouve à une distance au plus égale à 1/8 de l'un de ces centres. Comme 1/8 est strictement inférieur au rayon 1/4, ce point appartient à l'ouvert correspondant.

4. Ces cinq ouverts forment donc un sous-recouvrement fini. La figure matérialise leur chevauchement sur tout le segment.

Le contrôle se refait sur les quatre milieux situés entre deux centres consécutifs : leur distance au centre le plus proche vaut 1/8, donc aucun interstice ne subsiste. Cet exemple illustre l'extraction finie ; la compacité de [0, 1] pour tout recouvrement ouvert découle du théorème de Heine–Borel.

Dans ℝⁿ, on vérifie souvent la compacité avec Heine–Borel : il suffit d'établir que l'ensemble est fermé et borné. Pour [0, 1], les deux extrémités sont incluses et toutes les valeurs restent entre 0 et 1.

Pour exploiter un recouvrement, on cherche une sous-famille finie qui garde chaque point couvert. Lorsque l'ensemble n'est pas situé dans un espace euclidien de dimension finie, le critère « fermé et borné » ne suffit généralement pas ; on revient à la définition ou à un théorème adapté.

En analyse, la compacité sert à transformer des propriétés locales en conclusions globales. Par exemple, une fonction continue réelle sur un espace compact atteint ses valeurs minimale et maximale ; sans compacité, ces valeurs peuvent seulement être approchées.

Compact et fermé. Dans un espace séparé, tout compact est fermé, mais tout fermé n'est pas compact. Dans ℝ, l'ensemble fermé [0, +∞[ n'est pas borné et n'est donc pas compact.

Compact et borné. Être borné suppose une notion de distance ou une structure comparable, tandis que la compacité est topologique. Dans ℝ, l'intervalle ]0, 1[ est borné mais n'est pas compact, car il n'est pas fermé.

Compact et complet. Dans un espace métrique, tout compact est complet, mais la réciproque est fausse. L'espace ℝ est complet et pourtant non compact, puisqu'il n'est pas borné.

Convention variable. Un texte peut appeler « compact » ce que cette fiche nomme compact sans exiger d'abord la séparation. Le symptôme est l'absence de toute hypothèse de Hausdorff ; il faut lire la convention adoptée avant d'utiliser « tout compact est fermé ».

Fermé et borné hors de ℝⁿ. Ce test est le critère de Heine–Borel dans un espace euclidien de dimension finie, pas une règle universelle. Dans un espace normé de dimension infinie, la boule unité fermée est fermée et bornée, mais elle n'est généralement pas compacte.

Une extraction ne suffit pas. Trouver cinq ouverts qui recouvrent [0, 1] vérifie seulement le recouvrement choisi. Pour conclure à la compacité, la propriété doit valoir pour chaque recouvrement ouvert ; on invoque ici Heine–Borel.

Le recouvrement précise le vocabulaire au cœur de la définition et aide à distinguer la famille initiale du sous-recouvrement fini.

L'article La géométrie convexe ouvre sur un cadre où ensembles convexes, fermeture et compacité interviennent fréquemment ensemble.