Heine-Borel (théorème de)

Prenons le segment de 0 à 1 sur une droite. Il contient ses deux extrémités : il est fermé. Il ne s'étend pas indéfiniment : il est borné. Le théorème de Heine-Borel garantit alors qu'il est compact.

Concrètement, même si une multitude d'intervalles ouverts recouvre ce segment, il est toujours possible d'en garder un nombre fini qui le recouvre encore entièrement. Cette propriété transforme une couverture potentiellement infinie en un contrôle fini.

Dans l'espace euclidien ℝⁿ, un ensemble est compact lorsque tout recouvrement de cet ensemble par des ouverts contient une sous-famille finie qui le recouvre encore. Un recouvrement ouvert est donc une famille d'ensembles ouverts dont la réunion contient tous les points de l'ensemble étudié.

Le théorème de Heine-Borel remplace ce critère portant sur toutes les familles d'ouverts par deux propriétés vérifiables. L'ensemble doit être fermé, c'est-à-dire contenir toutes les limites de suites de ses points qui convergent dans ℝⁿ. Il doit aussi être borné, c'est-à-dire tenir dans une boule de rayon fini. Dans ℝⁿ, ces deux conditions réunies sont nécessaires et suffisantes pour la compacité. Cette équivalence dépend de la dimension finie et devient fausse dans certains espaces normés de dimension infinie.

Soit un entier naturel non nul n, et soit K un sous-ensemble de l'espace euclidien ℝⁿ. Alors K est compact si et seulement si K est à la fois fermé dans ℝⁿ et borné.

L'équivalence se lit dans les deux sens : tout compact de ℝⁿ est fermé et borné, et tout sous-ensemble fermé et borné de ℝⁿ est compact.

Le critère s'applique à un sous-ensemble de l'espace euclidien ℝⁿ, avec n fini et non nul. Il faut vérifier séparément que l'ensemble contient ses points limites et qu'une boule de rayon fini peut le contenir. Ces deux propriétés donnent alors la compacité, donc l'existence d'un sous-recouvrement fini pour chaque recouvrement ouvert.

Une seule condition ne suffit pas. Par exemple, l'ensemble des nombres 1/k, où k parcourt les entiers strictement positifs, est borné mais n'est pas fermé dans ℝ, car sa limite 0 lui manque. Il n'est donc pas compact. Hors de ℝⁿ, il faut revenir à la définition par les recouvrements ouverts ou employer un critère adapté à l'espace considéré.

Considérons K = [0, 1] dans ℝ. Deux ouverts sont donnés : U = ]−1/4, 3/5[ et V = ]2/5, 5/4[. La figure représente leurs étendues et le segment qu'ils doivent couvrir.

1. Vérification du caractère fermé. L'intervalle K contient ses extrémités 0 et 1. Il contient aussi la limite de toute suite convergente de points de K : K est fermé dans ℝ.

2. Vérification du caractère borné. Pour tout nombre x appartenant à K, on a 0 ≤ x ≤ 1. L'intervalle tient donc dans une boule de rayon fini : K est borné.

3. Application du théorème. Comme K est fermé et borné dans ℝ, Heine-Borel assure que K est compact.

4. Contrôle sur le recouvrement donné. L'ouvert U couvre tous les points de 0 à 3/5 exclu, tandis que V couvre tous ceux de 2/5 exclu à 1. Leur intersection est ]2/5, 3/5[. Leur union couvre bien tout K : en particulier, 2/5 appartient à U et 3/5 appartient à V. Ce sous-recouvrement compte exactement deux ouverts.

Pour étudier une fonction continue sur un intervalle fermé borné, Heine-Borel établit d'abord que le domaine est compact. On peut alors mobiliser les théorèmes propres aux fonctions continues sur un compact, notamment l'existence d'un minimum et d'un maximum.

Pour tester un ensemble concret de ℝⁿ, on cherche donc plus volontiers à prouver qu'il est fermé et borné qu'à examiner directement tous ses recouvrements ouverts. Si l'une des deux vérifications échoue, le critère conclut immédiatement que l'ensemble n'est pas compact.

Dans un espace de dimension infinie, ce raccourci n'est plus disponible. Le bon geste consiste à vérifier la compacité avec une caractérisation valable dans cet espace, plutôt qu'à s'arrêter aux seuls mots « fermé et borné ».

Compacité et fermeture. Un ensemble fermé contient ses points limites, mais il peut être non borné. La droite réelle ℝ est fermée dans elle-même et non bornée ; Heine-Borel montre donc qu'elle n'est pas compacte.

Compacité et bornitude. Un ensemble borné tient dans une boule de rayon fini, mais il peut omettre un point limite. L'intervalle ouvert ]0, 1[ est borné et non fermé ; il n'est pas compact dans ℝ.

Dimension infinie. Dans l'espace des suites réelles de carrés sommables, la boule unité fermée est fermée et bornée, mais elle n'est pas compacte. La suite formée des vecteurs ayant un seul terme égal à 1, à une position qui se décale, n'admet aucune sous-suite convergente. Il faut donc employer un critère adapté à cet espace.

Fermeture relative. Le mot « fermé » dépend de l'espace ambiant. L'intervalle ]0, 1] est fermé dans ]0, 1], mais pas dans ℝ. Pour appliquer Heine-Borel dans ℝ, la fermeture doit être vérifiée dans ℝ lui-même.

Recouvrement particulier. Trouver une couverture finie pour un exemple ne prouve pas la compacité. La définition exige qu'un sous-recouvrement fini existe pour chaque recouvrement ouvert ; dans ℝⁿ, les conditions « fermé et borné » permettent précisément d'éviter cette vérification une famille après l'autre.

La fiche compacité - topologie - approfondit la définition par les recouvrements ouverts, au-delà du critère propre aux espaces euclidiens.

Le théorème de Bolzano-Weierstrass présente une caractérisation séquentielle étroitement liée aux ensembles bornés de dimension finie.