partie compacte

Imaginez le segment fermé [0, 1]. Ses deux extrémités lui appartiennent, et aucun de ses points ne peut partir indéfiniment loin. Si l’on choisit une suite de points dans ce segment, on peut toujours en garder une infinité qui se rapprochent d’un même point du segment.

Cette impossibilité de « s’échapper » résume l’intuition de la compacité. Elle combine ici deux protections : le segment est borné et il conserve ses points limites. Dans un espace plus général, ces deux mots ne suffisent plus ; la définition topologique prend le relais.

Soit K un sous-ensemble d’un espace topologique X. On munit K de la topologie induite par X. La partie K est compacte lorsque tout recouvrement de K par des ouverts de X contient un sous-recouvrement fini. Autrement dit, si une famille d’ouverts U_i, indexée par un ensemble I, couvre K, un nombre fini de ces ouverts suffit encore à le couvrir.

Le critère s’écrit, pour des indices i₁, …, i_m choisis dans I :Le nombre entier m dépend du recouvrement ; il n’est pas fixé à l’avance.

Dans un espace métrique, cette propriété équivaut à la compacité séquentielle : toute suite de points de K possède une sous-suite qui converge vers un point de K. Dans ℝⁿ muni de sa distance usuelle, le théorème de Heine-Borel donne un test plus concret : K est compacte exactement lorsqu’elle est à la fois fermée et bornée. Ces équivalences dépendent du cadre indiqué ; le critère par recouvrements reste la définition topologique générale.

On étudie le segment K = [0, 1] dans ℝ et la suite de points x_n, où n est un entier positif.
Données : K contient ses extrémités 0 et 1 ; K est borné entre 0 et 1 ; $x_n=\frac{n}{n+1}x\_n=\backslash frac\{n\}\{n+1\}$.

1. Le segment [0, 1] est fermé dans ℝ, car son complémentaire est l’ouvert formé des nombres strictement inférieurs à 0 ou strictement supérieurs à 1.

2. Il est borné : pour tout point x de K, on a 0 ≤ x ≤ 1. Le théorème de Heine-Borel permet donc de conclure que K est compact.

3. La suite commence par 1/2, 2/3, 3/4, 4/5 et 5/6. Elle converge vers 1, qui appartient à K. La suite entière fournit donc déjà une sous-suite convergente dans K.

Le contrôle est immédiat : si l’on remplace K par l’intervalle ouvert (0, 1), les mêmes termes y appartiennent, mais leur limite 1 n’y appartient pas. Ce nouvel intervalle n’est pas compact. Le schéma matérialise le rôle décisif de l’extrémité conservée.

Dans ℝⁿ, on teste souvent la compacité en vérifiant séparément que l’ensemble est fermé puis borné. Si le cadre n’est pas un espace euclidien de dimension finie, il faut revenir au critère adapté, par recouvrements ou par suites dans un espace métrique.

Pour étudier une suite de points, la compacité autorise l’extraction d’une sous-suite convergente dont la limite reste dans l’ensemble. Sans compacité, il faut établir directement qu’une sous-suite ne s’échappe pas et que sa limite appartient bien au domaine.

Pour une fonction continue à valeurs réelles sur un compact, les valeurs minimale et maximale sont atteintes. Sur un domaine non compact, une borne peut exister sans être prise ; il faut alors examiner les bords absents ou le comportement à l’infini.

Compacte et fermée. Dans ℝ, l’ensemble [0, +∞) est fermé mais non compact, car il n’est pas borné. Être fermé ne suffit donc pas à garantir la compacité.

Compacte et bornée. L’intervalle (0, 1) est borné mais non compact : la suite de terme x_n = n/(n + 1) converge vers 1, absent de l’intervalle. Être borné ne suffit pas non plus.

Partie compacte et support compact. Une partie compacte est un sous-ensemble doté d’une propriété topologique. Une fonction est dite à support compact lorsque l’adhérence de l’ensemble où elle ne s’annule pas est compacte. Le test porte alors sur ce support, pas sur les valeurs de la fonction.

Heine-Borel a un cadre précis. L’équivalence « compact si et seulement si fermé et borné » vaut dans ℝⁿ. Dans un espace vectoriel normé de dimension infinie, une partie fermée et bornée peut ne pas être compacte ; il faut utiliser un véritable critère de compacité.

Les suites ne suffisent pas partout. La caractérisation par sous-suites convergentes est valable dans les espaces métriques. Dans un espace topologique général, la compacité séquentielle et la compacité par recouvrements peuvent différer ; le critère par ouverts est alors la référence.

La limite doit rester dans la partie. Pour (0, 1), la suite x_n = n/(n + 1) converge bien dans ℝ, mais vers 1, extérieur à l’intervalle. Observer seulement la convergence ambiante masquerait l’échec de la compacité.

Attention au vocabulaire. Certains ouvrages réservent le mot « compact » aux espaces qui sont à la fois quasi-compacts et séparés, et nomment « quasi-compacte » la seule propriété de recouvrement. Il faut vérifier cette convention quand l’espace ambiant n’est pas métrique.

De la suite dans les idées — Approfondir la convergence et le rôle des sous-suites dans les raisonnements d’analyse.

fonction continue — Relier la compacité à l’existence d’un minimum et d’un maximum effectivement atteints.

support compact — Voir comment la compacité décrit la zone où une fonction est réellement active.