support compact

Imaginez un signal continu en forme de tente sur une droite. Il vaut zéro avant −1 et après 1, mais il est non nul entre ces deux bornes. Son support est l’intervalle fermé [−1, 1] : il comprend toute la zone active et ses deux points frontières, même si le signal y vaut déjà zéro. Cet intervalle est compact. La fonction est donc à support compact : son activité reste confinée dans une zone fermée qui ne s’étend pas à l’infini.

Soit X un espace topologique et f une fonction continue de X vers les nombres réels. Notons A l’ensemble des points de X où f ne vaut pas zéro. Le support de f, noté supp(f), est l’adhérence de A, c’est-à-dire le plus petit ensemble fermé de X contenant tous ces points : $\mathrm{supp}(f)=\overline{\{x\in X\mid f(x)\mathrm{\ne }0\}}\backslash operatorname\{supp\}(f)=\backslash overline\{\backslash \{x\backslash in\; X\backslash mid\; f(x)\backslash ne\; 0\backslash \}\}$. Le support est donc toujours fermé. Il peut contenir des points où f s’annule, dès que des points où f est non nulle s’en approchent arbitrairement.

La fonction f est dite à support compact lorsque supp(f) est compact. Sur la droite réelle, cela revient à enfermer le support dans un intervalle fermé et borné. Dans un espace topologique général, la compacité est la condition pertinente ; la seule idée de bornes n’a pas toujours de sens. Si X porte une distance d, la continuité de f et la compacité de son support impliquent que f est uniformément continue : un même contrôle de la distance entre deux points convient partout dans X. Cette conséquence est donnée ici sous le nom de théorème de Heine.

Considérons une fonction-tente sur la droite réelle. La représentation de son graphe permet de suivre la zone non nulle jusqu’à son support.
Données.
L’espace X est ℝ, muni de sa distance usuelle.
La fonction f est définie par $f(x)=\max (0,1-\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid })f(x)=\backslash max(0,1-|x|)$.
La hauteur maximale vaut 1, atteinte au point x = 0.

1. Repérer les valeurs non nulles.
La condition f(x) > 0 équivaut à 1 − |x| > 0, donc à |x| < 1. L’ensemble des points où f ne s’annule pas est l’intervalle ouvert ]−1, 1[.

2. Prendre l’adhérence.
L’adhérence de ]−1, 1[ est [−1, 1]. Ainsi, $\mathrm{supp}(f)=[-1,1]\backslash operatorname\{supp\}(f)=[-1,1]$. Cet intervalle fermé et borné est compact dans ℝ.

3. Contrôler la continuité uniforme.
Pour deux nombres réels x et y, $\mathrm{\mid }f(x)-f(y)\mathrm{\mid }\le \mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }|f(x)-f(y)|\backslash le\; |x-y|$. Pour toute précision ε > 0, choisir une distance δ = ε suffit donc. Le contrôle est valable sur toute la droite. Enfin, f(−1) = f(1) = 0, mais −1 et 1 appartiennent au support : ce contrôle refait aussi apparaître le rôle de l’adhérence.

Pour vérifier qu’une fonction continue sur ℝ est à support compact, on détermine d’abord où elle ne vaut pas zéro, puis on prend l’adhérence de cet ensemble. Si cette fermeture reste enfermée dans un intervalle borné, le support est compact. Si la zone non nulle s’étend arbitrairement loin, ce critère échoue.

Dans un espace métrique, un support compact fournit un raccourci pour établir la continuité uniforme : le théorème de Heine donne un contrôle commun à tout l’espace. Sans support compact, il faut étudier directement les variations de la fonction ; la continuité seule ne suffit pas en général.

Pour localiser exactement l’action d’une fonction, le choix dépend de la question. L’ensemble où elle est strictement non nulle décrit la zone active. Son support ajoute les points frontières nécessaires pour obtenir un ensemble fermé, comme −1 et 1 pour la fonction-tente.

Support et ensemble des points où la fonction est non nulle. Le second ensemble suffit pour savoir où la fonction agit strictement ; le support est son adhérence. Pour la fonction-tente, ces ensembles sont respectivement [−1, 1] et ]−1, 1[. Les valeurs aux bornes tranchent : f(−1) = f(1) = 0, mais les deux bornes appartiennent au support.

Support compact et support borné. Sur ℝ, un support est déjà fermé ; il est donc compact exactement lorsqu’il est borné. Cette équivalence ne s’étend pas à tout espace topologique, où la notion de bornitude peut même manquer. Le critère sûr reste la compacité du support.

La fonction nulle. Si f vaut zéro partout, l’ensemble de ses points non nuls est vide et son support est l’ensemble vide. Celui-ci est compact : la fonction nulle est donc à support compact. Il ne faut pas chercher artificiellement une zone active.

Fermé ne signifie pas toujours compact. La fonction constante égale à 1 sur ℝ a pour support toute la droite. Ce support est fermé, mais il n’est pas compact, car il n’est pas borné. Il faut vérifier la compacité après avoir pris l’adhérence.

Une valeur nulle à la frontière n’exclut pas le point. Pour la fonction-tente, f(−1) = f(1) = 0, mais toute proximité de −1 ou de 1 contient des points où f est non nulle. Le bon geste consiste à fermer l’ensemble non nul, et non à tester seulement la valeur au point.

La conclusion de Heine demande une distance. Dans un espace seulement topologique, le support compact reste défini, mais la continuité uniforme n’est pas fournie par la seule topologie. Il faut une distance d, ou une structure uniforme adaptée, avant d’énoncer ce contrôle global.

adhérence - topologie - précise l’opération qui ajoute au domaine non nul les points frontières nécessaires au support.

compacité - topologie - approfondit la propriété imposée au support et son rôle dans les raisonnements topologiques.

continuité uniforme développe la conclusion du théorème de Heine et le contrôle commun valable pour tous les points.