espace métrique compact

Imaginez le segment de 0 à 1 recouvert par une multitude d'intervalles ouverts, même en nombre infini. S'il est compact, quelques-uns de ces intervalles suffisent toujours à recouvrir tout le segment.

Une autre image consiste à choisir sans fin des points dans cet espace. On pourra toujours en retenir une sous-suite dont les points se rapprochent d'un point appartenant encore à l'espace. La compacité interdit ainsi qu'une suite se disperse sans conserver de point d'accumulation interne.

Un espace métrique est formé d'un ensemble X et d'une distance d. Une partie est ouverte lorsque chacun de ses points possède une petite boule entièrement contenue dans cette partie. Une famille d'ouverts recouvre X si tout point de X appartient à au moins l'un d'eux. L'espace est compact lorsque chaque recouvrement ouvert contient une sous-famille finie qui recouvre encore X.

En notant les ouverts U_i, où l'indice i parcourt un ensemble I, le critère s'écrit . Le nombre n peut dépendre du recouvrement choisi.

Dans les espaces métriques, cette propriété équivaut au critère de Bolzano-Weierstrass : toute suite possède une sous-suite convergeant vers un point de X. Elle équivaut aussi à la réunion de deux conditions : l'espace est complet et, pour tout rayon strictement positif, il se couvre par un nombre fini de boules de ce rayon. Dans ℝⁿ muni de la distance usuelle, une partie est compacte exactement lorsqu'elle est fermée et bornée. Enfin, toute fonction continue d'un espace métrique compact vers ℝ est uniformément continue et atteint son minimum et son maximum.

La structure repose sur cinq éléments. L'ensemble X fournit les points. La distance d mesure leur éloignement et détermine les boules ouvertes. Les ouverts sont alors les voisinages autorisés. Un recouvrement ouvert est une famille de ces ouverts qui atteint chaque point de X. Le sous-recouvrement fini est une sélection d'un nombre fini d'ouverts qui atteint encore tous les points.

La distance fixe donc les ouverts, puis les ouverts déterminent quels recouvrements doivent être testés. La compacité ne dépend ni d'un dessin ni de l'échelle choisie pour le représenter : elle exige que tout recouvrement ouvert, quelle que soit sa taille initiale, admette une extraction finie. Ces données suffisent aussi à utiliser les critères équivalents fondés sur les suites, la complétude et les boules de petit rayon.

Prenons l'espace X = [0, 1] avec la distance usuelle. Pour chaque entier n au moins égal à 2, posons U_n = (−1/n, 1 − 1/n), puis ajoutons l'ouvert V = (1/2, 2). Cette famille infinie recouvre X.

1. L'ouvert U₃ = (−1/3, 2/3) contient tous les points de X compris entre 0 et 2/3, sans inclure 2/3.

2. L'ouvert V contient tous les points de X strictement supérieurs à 1/2, y compris 2/3 et 1.

3. Les deux ouverts se chevauchent sur l'intervalle (1/2, 2/3). Leur réunion contient donc chaque point de [0, 1].

Le sous-recouvrement {U₃, V} ne comporte que deux ouverts. Le contrôle se refait en séparant un point x de X selon x < 2/3 ou x ≥ 2/3 : dans le premier cas x appartient à U₃, dans le second il appartient à V. La représentation de ces deux intervalles rend visible leur chevauchement et la couverture complète de X.

Pour établir qu'une fonction continue possède un minimum et un maximum, on vérifie d'abord que son domaine est compact. Sur un intervalle fermé et borné de ℝ, le critère de Heine-Borel est souvent plus direct que l'étude de tous les recouvrements ouverts.

Face à une suite de points, la compacité autorise la recherche d'une sous-suite convergente dont la limite reste dans l'espace. Ce critère séquentiel est préférable lorsque l'énoncé fournit déjà une suite, tandis que le critère par recouvrements convient mieux aux arguments topologiques.

Pour prouver la compacité d'un espace métrique abstrait, on peut montrer séparément sa complétude et sa précompacité totale. Cette voie est utile lorsque les limites de suites sont maîtrisées et qu'un nombre fini de boules de tout rayon positif peut être construit.

Compact et complet. La complétude garantit seulement que toute suite de Cauchy converge dans l'espace. La droite réelle ℝ est complète mais non compacte, car elle n'est pas bornée et la suite 1, 2, 3, … n'a aucune sous-suite convergente.

Compact et borné. Être borné ne suffit pas dans un espace métrique général. Un ensemble infini muni de la distance discrète, égale à 1 entre deux points distincts, est borné mais non compact : les boules ouvertes de rayon 1/2 centrées en chaque point n'admettent aucun sous-recouvrement fini.

Compact et localement compact. La compacité concerne l'espace entier. La droite réelle est localement compacte, car chaque point possède un voisinage à fermeture compacte, mais elle n'est pas compacte elle-même. Tester un seul voisinage ne tranche donc pas la compacité globale.

Le raccourci « fermé et borné » caractérise les parties compactes de ℝⁿ avec sa distance usuelle, mais pas tous les espaces métriques. Dans un ensemble infini muni de la distance discrète, l'espace entier est fermé, complet et borné par 1, sans être compact. Il faut alors revenir au critère des recouvrements ou vérifier la précompacité totale.

Un intervalle borné peut perdre la compacité s'il lui manque un bord. L'intervalle ouvert (0, 1) n'est pas compact : la suite de termes 1/n reste dans l'intervalle mais converge vers 0, qui n'en fait pas partie. Il faut contrôler à la fois la fermeture et la bornitude dans ℝ.

Le test porte sur les recouvrements par des ouverts, pas sur une famille quelconque de parties. Par ailleurs, l'équivalence entre compacité et extraction d'une sous-suite convergente est garantie ici parce que l'espace est métrique. Dans un cadre topologique plus général, le seul test des suites peut ne pas suffire.

Le théorème de Heine-Borel précise pourquoi, dans ℝⁿ, les conditions « fermé » et « borné » caractérisent exactement les parties compactes.

Le théorème de Bolzano-Weierstrass développe le critère séquentiel : extraire d'une suite bornée une sous-suite convergente.

La fiche compacité - topologie - replace la notion dans le cadre plus général des espaces topologiques, où aucune distance n'est exigée.