AnalyseNotion · Glossaire
Relativement compacte (partie)
Une partie d'un espace topologique est dite relativement compacte si son adhérence est compacte. Dans un espace métrique complet, une partie est relativement compacte si et seulement si elle est totalement bornée, c'est-à-dire si pour tout epsilon > 0 elle peut être recouverte par un nombre fini de boules de rayon epsilon. Dans les espaces de Banach, les parties relativement compactes sont les parties dont toute suite admet une sous-suite convergente. Cette notion est plus faible que la compacité et intervient souvent en analyse fonctionnelle.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la relative compacité à la compacité de l'adhérence.
- Utiliser la totale bornitude dans un espace métrique complet.
- Distinguer relative compacité, compacité et simple bornitude.
- Repérer le rôle de l'espace ambiant et de la complétude.
En clair
Prenons tous les nombres strictement compris entre 0 et 1. Les deux extrémités manquent, mais elles sont les seuls points que cet ensemble peut approcher sans les contenir. En ajoutant ces points limites, on obtient le segment fermé de 0 à 1, qui est compact.
L'intervalle ouvert est donc relativement compact : il n'est pas lui-même compact, mais son adhérence l'est. L'idée est qu'aucune suite de ses points ne peut s'échapper sans laisser une sous-suite converger dans l'espace ambiant.
Définition
Soit une partie A d'un espace topologique X. La partie A est relativement compacte dans X lorsque son adhérence dans X, notée , est compacte. L'adhérence réunit A et tous ses points limites dans l'espace ambiant. La propriété dépend donc de X.
Si X est un espace métrique complet, ce critère équivaut à la totale bornitude. Pour tout nombre réel ε strictement positif, A doit alors pouvoir être recouverte par un nombre fini de boules de rayon ε. Cette condition est plus forte que la simple bornitude, surtout en dimension infinie.
Dans un espace de Banach, qui est un espace vectoriel normé complet, une autre formulation est séquentielle : toute suite de points de A possède une sous-suite qui converge dans l'espace ambiant. Sa limite peut appartenir à l'adhérence sans appartenir à A. Une partie compacte est relativement compacte, mais la réciproque exige que la partie soit fermée.
Un exemple, pas à pas
Dans la droite réelle, considérons la partie A formée des nombres strictement compris entre 0 et 1. On veut vérifier sa relative compacité et visualiser un recouvrement fini.
Données.
L'espace ambiant est ℝ, qui est complet.
La partie étudiée est A = (0, 1).
Le rayon choisi est ε = 1/4.
L'espace ambiant est ℝ, qui est complet.
La partie étudiée est A = (0, 1).
Le rayon choisi est ε = 1/4.
1. Les points limites 0 et 1 sont ajoutés à A. Son adhérence dans ℝ est donc le segment fermé [0, 1].
2. Le segment [0, 1] est compact. Par définition, A est donc relativement compacte dans ℝ.
3. Pour contrôler la totale bornitude à cette échelle, prenons les quatre centres 1/8, 3/8, 5/8 et 7/8. Les boules ouvertes de rayon 1/4 autour de ces centres recouvrent tout l'intervalle (0, 1).
Le contrôle est refaisable : deux centres voisins sont distants de 1/4, et le premier comme le dernier est à 1/8 d'une extrémité. Pourtant A n'est pas compacte, car la suite 1/n reste dans A et converge vers 0, qui n'appartient pas à A.
En pratique
Pour prouver qu'une partie est relativement compacte dans un espace métrique complet, on cherche souvent un recouvrement fini à toute échelle. Si cette totale bornitude est visible, elle évite de décrire directement tous les points de l'adhérence.
Face à une famille de fonctions dans un espace de Banach, on peut plutôt examiner des suites. La bonne propriété est l'existence, pour chaque suite choisie, d'une sous-suite convergente dans l'espace ambiant ; une simple borne commune ne suffit pas en général.
Si la partie est déjà fermée, relative compacité et compacité coïncident. Si elle ne l'est pas, on travaille avec son adhérence et l'on accepte que les limites obtenues puissent se trouver sur le bord.
À ne pas confondre
Compacité. Dans un espace métrique, une partie compacte contient les limites obtenues par ses sous-suites, tandis qu'une partie relativement compacte peut les laisser dans son adhérence. Ainsi, (0, 1) est relativement compact dans ℝ, mais n'est pas compact.
Bornitude. Dans ℝn, une partie bornée est relativement compacte, mais ce réflexe ne s'étend pas aux espaces de Banach de dimension infinie. Dans l'espace des suites de carré sommable, les vecteurs unitaires successifs restent bornés tout en étant séparés deux à deux par la distance √2 ; ils n'ont donc aucune sous-suite convergente.
Limites et pièges
L'espace ambiant compte. L'intervalle A = (0, 1) est relativement compact dans ℝ, car son adhérence y est [0, 1]. Considéré dans l'espace X = (0, 1), il est sa propre adhérence et n'est plus relativement compact. Il faut donc toujours préciser où l'adhérence est prise.
La complétude est indispensable au critère métrique. Dans l'espace des rationnels ℚ, la partie ℚ ∩ (0, 1) est totalement bornée. Son adhérence ℚ ∩ [0, 1] n'est pourtant pas compacte : une suite rationnelle approchant √2/2 est de Cauchy sans converger dans ℚ.
Les suites ne suffisent pas dans toute topologie. L'équivalence entre compacité et compacité séquentielle est valable dans les espaces métriques, donc dans les espaces de Banach. Dans un espace topologique arbitraire, il faut revenir à la compacité de l'adhérence plutôt que généraliser ce test.
Une seule échelle ne prouve rien. Les quatre boules de rayon 1/4 de l'exemple contrôlent seulement ce rayon. La totale bornitude exige un recouvrement fini pour chaque ε strictement positif, aussi petit soit-il.
Pour aller plus loin
La fiche compacité - topologie - approfondit la propriété exigée de l'adhérence et aide à situer la relative compacité parmi les notions de compacité.
La fiche adhérence - topologie - détaille la façon dont une partie est complétée par ses points limites dans l'espace ambiant.
La fiche Précompact relie le vocabulaire de précompacité au recouvrement fini par des boules de rayon arbitrairement petit.
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