Précompact

Imaginez l’intervalle ouvert ]0, 1[ sur une droite. Même s’il contient une infinité de points, quelques petits intervalles de même rayon suffisent à le recouvrir. Si l’on exige des intervalles plus petits, il en faut davantage, mais leur nombre reste fini.

Cette possibilité, valable à toute échelle positive, est la précompacité. Elle empêche un espace de s’étaler ou de se disperser indéfiniment, sans garantir que tous ses points limites lui appartiennent.

Soit un espace métrique X, muni d’une distance d. Il est précompact, ou totalement borné, lorsque, pour chaque nombre réel ε strictement positif, on peut choisir un nombre fini de points de X tels que les boules ouvertes de rayon ε centrées en ces points recouvrent X.

En notant B(x_i, ε) la boule de centre x_i et de rayon ε, le critère s’écrit :
Le nombre N et les centres peuvent dépendre de ε. L’exigence décisive est seulement que N soit fini pour chaque rayon fixé.

Dans un espace métrique, la compacité équivaut à la réunion de deux propriétés : la précompacité et la complétude. Ainsi, un espace précompact n’est pas nécessairement compact. Dans un espace de Banach, qui est complet, un sous-ensemble est précompact exactement lorsque son adhérence est compacte.

Considérons l’intervalle ouvert X = ]0, 1[, avec la distance usuelle sur la droite. Fixons le rayon ε = 0,2. Prenons le dénominateur m = 6 et les cinq centres 1/6, 2/6, 3/6, 4/6 et 5/6.

1. Deux centres consécutifs sont distants de 1/6, soit environ 0,167, une valeur strictement inférieure à 0,2.

2. Chaque point entre deux centres est à une distance au plus égale à 1/12, soit environ 0,083, de l’un d’eux.

3. Les points proches de 0 sont à moins de 0,2 du centre 1/6. De même, les points proches de 1 sont à moins de 0,2 du centre 5/6.

Les cinq boules ouvertes de rayon 0,2 couvrent donc X. Le contrôle se refait avec un rayon quelconque ε : choisissons un dénominateur entier m strictement supérieur à 1 et à 1/ε. Alors 1/m < ε, et les m − 1 centres k/m, pour chaque entier k de 1 à m − 1, donnent toujours un recouvrement fini. L’intervalle ]0, 1[ est ainsi précompact.

Pour prouver qu’un ensemble est précompact, on fixe une précision ε, puis on construit un réseau fini de centres dont chaque point est distant de moins de ε. Un simple majorant du nombre de centres suffit.

Pour obtenir la compacité dans un espace métrique, on vérifie ensuite la complétude. Si des suites de Cauchy peuvent ne pas converger dans l’espace considéré tout en convergeant, dans son complété, vers un point absent, comme dans ]0, 1[, on travaille plutôt avec l’adhérence lorsqu’elle est compacte.

En analyse fonctionnelle, la seule bornitude ne suffit pas toujours. Dans un espace de Banach de dimension infinie, on cherche donc un véritable contrôle uniforme à toute échelle, ou directement la compacité de l’adhérence.

Borné. Un ensemble borné tient dans une boule de rayon fini. Un ensemble totalement borné admet, pour chaque rayon ε positif, un recouvrement par un nombre fini de boules de ce rayon. En dimension infinie, la boule unité d’un espace de Banach est bornée, mais elle n’est pas précompacte.

Compact. Dans un espace métrique, un compact est précompact et complet. L’intervalle ]0, 1[ est précompact, mais non compact, car une suite de ses points peut converger dans ℝ vers 0, qui n’appartient pas à l’intervalle.

Complet. La complétude concerne la convergence des suites de Cauchy dans l’espace. Elle n’impose aucun recouvrement fini : la droite réelle entière est complète, mais elle n’est pas précompacte.

L’espace ambiant compte. Dans un espace métrique non complet, « totalement borné » ne garantit pas que l’adhérence soit compacte dans cet espace. Il faut vérifier la complétude ou considérer le complété de l’espace.

L’adhérence ne doit pas être oubliée. Le sous-ensemble ]0, 1[ n’est pas fermé dans ℝ, mais son adhérence [0, 1] est compacte. Dans un espace de Banach, c’est précisément cette compacité de l’adhérence qui caractérise un sous-ensemble précompact.

Le recouvrement dépend de l’échelle. Un seul nombre fini de boules n’a pas à convenir à tous les rayons. Lorsque ε diminue, le nombre nécessaire peut augmenter sans borne ; il doit seulement rester fini pour chaque ε fixé.

Le vocabulaire varie selon les auteurs. Certains réservent « précompact » aux ensembles d’adhérence compacte et emploient « totalement borné » pour le critère des recouvrements. Dans un cadre complet, les deux formulations coïncident ; ailleurs, il faut vérifier la convention retenue.

La fiche compacité - topologie - approfondit la propriété obtenue lorsque la précompacité s’accompagne de complétude.

La fiche espace de Banach présente le cadre complet où la précompacité d’un sous-ensemble équivaut à la compacité de son adhérence.