espace de Banach

Imaginez une suite de points dont les termes finissent par être aussi proches entre eux qu'on le souhaite. Dans un espace de Banach, ces rapprochements ne conduisent jamais vers un point absent de l'espace : la suite possède une limite qui en fait encore partie.

La norme fournit la règle pour mesurer les écarts. La complétude garantit que les approximations successives, lorsqu'elles forment une suite de Cauchy, aboutissent sans sortir du cadre choisi.

Un espace de Banach est un espace vectoriel E sur le corps des réels ℝ ou celui des complexes ℂ, muni d'une norme et complet pour la distance issue de cette norme. La norme associe à chaque vecteur u un nombre réel positif ou nul, noté ‖u‖. Elle mesure notamment la distance entre deux vecteurs u et v par ‖u − v‖.

La norme vérifie trois conditions. Elle s'annule exactement pour le vecteur nul. Pour tout scalaire a, elle vérifie l'homogénéité ‖a·u‖ = |a|·‖u‖. Enfin, elle vérifie l'inégalité triangulaire ‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖. Une suite de vecteurs, notée (u_n), est de Cauchy lorsque ses termes deviennent uniformément proches :

La complétude exige que toute suite ainsi définie converge vers un vecteur de E. L'appartenance de la limite à E est décisive : converger dans un espace extérieur ne suffit pas. Tout espace vectoriel réel normé de dimension finie est automatiquement complet. En dimension infinie, la complétude doit faire partie des propriétés réellement vérifiées avant d'utiliser le cadre comme espace de Banach.

Quatre éléments forment la structure. Le corps des scalaires, ℝ ou ℂ, fixe les nombres utilisés pour multiplier les vecteurs. L'espace vectoriel E fournit les vecteurs, leur addition et cette multiplication. La norme ‖·‖ mesure leur taille et transforme la différence u − v en distance. La complétude porte sur cette distance : elle impose que toute suite de Cauchy ait sa limite dans E.

La norme dépend donc de la structure vectorielle, puisqu'elle doit respecter la multiplication par un scalaire et l'addition. La complétude dépend à son tour de la norme, car les écarts entre les termes sont calculés avec elle. Ces données suffisent à parler de proximité, de convergence et de constructions itératives dans un même cadre.

Prenons l'espace vectoriel réel ℝ² avec sa norme euclidienne. Pour chaque entier n au moins égal à 1, le vecteur u_n a pour coordonnées (1/n, 2). Les données sont donc l'espace ℝ², la norme euclidienne, l'indice n et la suite (u_n).

1. Pour deux indices p et q, les secondes coordonnées sont identiques. La distance entre les deux vecteurs vaut donc |1/p − 1/q|.

2. Cette distance est au plus 1/p + 1/q. Pour un réel ε strictement positif, choisissons un entier N strictement supérieur à 2/ε. Si p et q sont supérieurs à N, alors 1/p + 1/q < ε. La suite est donc de Cauchy.

3. Le candidat naturel pour la limite est le vecteur ℓ = (0, 2). La distance ‖u_n − ℓ‖ vaut exactement 1/n, qui tend vers 0 lorsque n augmente.

Le résultat est bien un vecteur de ℝ². Cet exemple illustre donc une conséquence de la complétude dans ℝ² : pour cette suite, il vérifie la convergence et l'appartenance de la limite à l'espace. La complétude de ℝ² lui-même découle de la garantie valable pour tout espace vectoriel réel normé de dimension finie, et non de ce seul calcul.

Lorsqu'une méthode construit des approximations successives, on cherche d'abord à prouver qu'elles forment une suite de Cauchy. Dans un espace de Banach, ce constat donne une limite dans l'espace ; sans complétude, il faut encore établir que la limite ne se trouve pas hors du cadre choisi.

Pour un espace vectoriel réel normé de dimension finie, aucune preuve supplémentaire de complétude n'est nécessaire. Si la dimension n'est pas finie, ce raccourci disparaît : il faut vérifier la complétude au lieu de la supposer.

Dans une démonstration de convergence, le bon réflexe consiste enfin à nommer la norme utilisée. Dire seulement que les termes « se rapprochent » ne précise ni la distance, ni l'espace auquel la limite doit appartenir.

Un espace vectoriel normé possède une norme, mais il n'est pas nécessairement complet. Le critère qui tranche est la limite de chaque suite de Cauchy : si l'une d'elles n'a pas de limite dans l'espace, celui-ci n'est pas un espace de Banach.

Un espace complet décrit seulement ici le comportement des suites de Cauchy pour une distance donnée. Un espace de Banach exige en plus une structure vectorielle et une distance provenant d'une norme. La complétude seule ne suffit donc pas à lui donner ce nom.

Une suite peut converger vers un objet disponible dans un espace plus grand sans converger dans E. Le symptôme est une limite qui ne vérifie pas l'appartenance à E. Il faut contrôler cette appartenance, et pas seulement la diminution des écarts entre les termes.

La condition de Cauchy porte sur toutes les paires d'indices suffisamment grands. Comparer seulement deux termes consécutifs ne suffit pas. Il faut trouver, pour chaque ε > 0, un même rang N qui contrôle ‖u_p − u_q‖ pour tous p et q supérieurs à N.

En dimension finie réelle, tout espace vectoriel normé est complet. Cette garantie ne doit pas être étendue par automatisme à la dimension infinie : dans ce cas, la complétude réclame une vérification propre à l'espace et à sa norme.

La fiche norme détaille la mesure qui définit les distances entre vecteurs et donne son sens à la convergence.

La fiche suite de Cauchy approfondit le critère central de la complétude, formulé avant même de connaître une limite.

La fiche espace vectoriel revient sur l'addition des vecteurs et la multiplication par des scalaires, socle algébrique d'un espace de Banach.