Dual topologique

Prenons un point du plan, avec deux coordonnées. Une forme linéaire lui associe un nombre en combinant ces coordonnées, par exemple deux fois la première moins la seconde. Elle est continue si une petite modification du point ne provoque qu'une petite modification du résultat.

Le dual topologique réunit toutes les règles de ce genre qui sont à la fois linéaires et continues. Il décrit ainsi l'espace initial au moyen de mesures numériques compatibles avec sa topologie.

Soit E un espace vectoriel topologique sur le corps des réels ou des complexes. Son dual topologique, noté E', est l'espace des applications linéaires continues de E vers le corps de base. La continuité est la condition qui distingue E' du dual algébrique, lequel contient toutes les formes linéaires, continues ou non.

Lorsque E est normé, chaque forme continue f possède une norme d'opérateur. Avec x pour un vecteur de E, elle s'écrit $\parallel f\parallel ={\sup }_{\parallel x\parallel \le 1}\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }\backslash lVert\; f\backslash rVert=\backslash sup\_\{\backslash lVert\; x\backslash rVert\backslash leq\; 1\}|f(x)|$. Cette quantité mesure le supremum des valeurs absolues produites sur la boule unité. Le dual d'un espace normé est complet pour cette norme ; en particulier, si E est un espace de Banach, E' est aussi un espace de Banach.

Le théorème de Hahn–Banach assure que, dans un espace normé, les éléments du dual séparent les points : si deux vecteurs sont distincts, une forme continue prend sur eux deux valeurs différentes. Cette famille de tests définit la convergence faible : une suite (x_n) converge faiblement vers x dans E lorsque f(x_n) converge vers f(x) pour toute forme f de E'.

Dans le plan réel E = ℝ² muni de la norme euclidienne, considérons la forme f qui associe au vecteur de coordonnées (x, y) le nombre 2x − y. Les données sont donc le vecteur de coefficients (2, −1), la boule unité de rayon 1 et la norme euclidienne.

1. La règle est linéaire : additionner deux vecteurs ou multiplier un vecteur par un réel produit la même opération sur leurs images.

2. Pour tout vecteur (x, y), l'inégalité de Cauchy–Schwarz donne $\mathrm{\mid }2x-y\mathrm{\mid }\le \sqrt{5}\sqrt{x^2+y^2}|2x-y|\backslash leq\backslash sqrt\{5\}\backslash sqrt\{x^2+y^2\}$. La forme est donc continue et sa norme ne dépasse pas √5.

3. Prenons le vecteur unité u de coordonnées (2/√5, −1/√5). Sa norme vaut 1 et $f(u)=2\times \frac{2}{\sqrt{5}}-(-\frac{1}{\sqrt{5}})=\sqrt{5}f(u)=2\backslash times\backslash frac\{2\}\{\backslash sqrt\{5\}\}-\backslash left(-\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{5\}\}\backslash right)=\backslash sqrt\{5\}$. La borne est atteinte.

4. On conclut que la norme d'opérateur de f vaut exactement √5. Le contrôle consiste à vérifier séparément que u appartient à la boule unité et que l'inégalité précédente vaut pour tout vecteur.

La représentation associe le maximum de f sur le disque unité à la direction du vecteur de coefficients (2, −1). Elle rend visible pourquoi la valeur √5 est atteinte en u.

Pour étudier une convergence faible, on choisit une forme continue f et l'on observe les nombres f(x_n). Si toutes ces suites numériques convergent vers f(x), pour chaque f de E', alors les vecteurs x_n convergent faiblement vers x. La convergence en norme est à préférer lorsque la distance elle-même doit tendre vers zéro.

Pour distinguer deux vecteurs d'un espace normé, Hahn–Banach permet de chercher une forme continue qui leur attribue des valeurs différentes. Un calcul direct de coordonnées suffit dans ℝⁿ ; le théorème devient utile lorsque l'espace n'offre pas une base finie maniable.

Pour contrôler l'amplitude d'une forme, on calcule sa norme d'opérateur sur la boule unité. Dans l'exemple, le test donne √5. Une simple évaluation en un vecteur ne fournit qu'une borne inférieure, sauf si l'on prouve aussi une borne valable pour toute la boule.

Le dual algébrique contient toutes les formes linéaires sur E. Le dual topologique ne retient que les formes continues. Si E est normé, les deux coïncident en dimension finie. En dimension infinie, il peut exister des formes linéaires non continues, que le dual topologique écarte.

Lorsque E est normé, E' porte sa norme d'opérateur et le bidual topologique E'' est le dual de cet espace normé. L'application canonique J de E dans E'' associe à chaque vecteur x la forme d'évaluation qui envoie f sur f(x). L'espace E est réflexif lorsque J est surjective.

La topologie fait partie de la définition. Une même structure vectorielle munie de deux topologies peut avoir deux duaux topologiques différents. Le symptôme est qu'une forme linéaire reste la même algébriquement mais perd ou gagne la continuité ; il faut donc toujours préciser la topologie ou la norme de E.

La convergence faible ne signifie pas convergence en norme. Elle ne teste que les valeurs f(x_n) pour les formes continues f. Pour conclure à une convergence en norme, il faut contrôler directement la distance ‖x_n − x‖ ou disposer d'hypothèses supplémentaires.

Le fait que E' soit complet ne rend pas E réflexif. La réflexivité demande que chaque forme continue sur E' provienne de l'évaluation en un vecteur de E. Il faut vérifier cette surjectivité au lieu de la déduire de la seule complétude.

Une norme d'opérateur est un supremum, pas nécessairement un maximum. Dans ℝ², la compacité de la boule unité permet à l'exemple d'atteindre √5. Dans un cadre général, il faut distinguer une valeur approchée arbitrairement d'une valeur réellement atteinte.

La fiche Forme linéaire détaille l'objet algébrique dont la continuité sélectionne les éléments du dual topologique.

La fiche norme d'opérateur approfondit le supremum utilisé pour mesurer une forme continue sur la boule unité.

La fiche théorème de Hahn-Banach montre pourquoi les formes continues peuvent séparer les points d'un espace normé.

La fiche espace de Banach précise la complétude qui structure une grande partie de l'analyse fonctionnelle.