AnalyseNotion · Glossaire
Localement convexe
Un espace vectoriel topologique est dit localement convexe si chaque point possède une base de voisinages convexes. Cette propriété est essentielle pour généraliser les résultats d'analyse fonctionnelle au-delà des espaces normés. Les espaces de Banach et de Hilbert sont des exemples d'espaces localement convexes. La topologie d'un espace localement convexe peut être définie par une famille de semi-normes. Sous leurs hypothèses propres, Hahn–Banach permet notamment de prolonger une forme linéaire dominée par une fonction sous-linéaire ; Krein–Milman décrit les compacts convexes non vides d'un espace localement convexe séparé ; dans un espace normé, Alaoglu affirme la compacité faible-étoile de la boule unité fermée du dual.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître la propriété à partir d’une base de voisinages convexes.
- Relier une famille de semi-normes à la topologie de l’espace.
- Vérifier la convexité sur un espace de suites, coordonnée par coordonnée.
- Distinguer localement convexe, normable et séparé.
- Identifier les hypothèses à contrôler avant d’invoquer Krein–Milman ou Alaoglu.
En clair
Imaginez un espace de suites de nombres. Autour d’une suite donnée, on peut imposer que ses deux premières coordonnées restent dans de petits intervalles, tout en laissant les suivantes libres. La zone obtenue ressemble, sur ces deux coordonnées, à un rectangle : le segment joignant deux de ses points ne sort jamais de la zone.
Un espace est localement convexe lorsque de telles zones convexes peuvent être choisies aussi petites que nécessaire autour de chaque point. Sous les hypothèses propres aux ensembles et à la topologie considérés, cette géométrie locale permet d’appliquer des théorèmes de séparation et de prolongement de l’analyse fonctionnelle.
Définition
Soit un espace vectoriel E sur les nombres réels ou complexes, muni d’une topologie pour laquelle l’addition et la multiplication par un scalaire sont continues. Une partie C de E est convexe lorsque, pour tous points x et y de C et tout nombre t compris entre 0 et 1, le point appartient encore à C. L’espace E est localement convexe si le vecteur nul possède une base de voisinages convexes. Par translation, cette condition vaut alors autour de tout point.
Une semi-norme est une fonction p à valeurs réelles positives qui vérifie l’homogénéité et l’inégalité triangulaire . Contrairement à une norme, elle peut s’annuler sur un vecteur non nul. Une famille de semi-normes engendre des voisinages de zéro en imposant simultanément un nombre fini de contraintes . Ces voisinages sont convexes, et toute topologie localement convexe se décrit ainsi.
Une norme est une semi-norme qui ne s’annule qu’au vecteur nul : tout espace normé, donc tout espace de Banach ou espace de Hilbert, est localement convexe. Si l’on exige en plus que la topologie sépare deux points distincts, la famille de semi-normes doit séparer les points.
Un exemple, pas à pas
Considérons l’espace E de toutes les suites réelles, muni de la convergence coordonnée par coordonnée. Pour une suite z, la semi-norme pk mesure la valeur absolue de sa k-ième coordonnée. Données :
• le voisinage U impose p1(z) < 1 et p2(z) < 0,5 ;
• x = (0,8 ; 0,4 ; 0 ; …) ;
• y = (−0,6 ; −0,2 ; 0 ; …).
• le voisinage U impose p1(z) < 1 et p2(z) < 0,5 ;
• x = (0,8 ; 0,4 ; 0 ; …) ;
• y = (−0,6 ; −0,2 ; 0 ; …).
Étape 1. Les deux premières coordonnées de x ont pour valeurs absolues 0,8 et 0,4. Celles de y valent 0,6 et 0,2. Les quatre valeurs respectent les deux seuils : x et y appartiennent à U.
Étape 2. Le milieu m de x et y se calcule coordonnée par coordonnée : . Ses deux premières coordonnées restent strictement sous les seuils, donc m appartient à U.
Étape 3. Pour tout poids entre 0 et 1, l’inégalité triangulaire garantit que chaque contrainte reste satisfaite. Tout le segment joignant x à y reste donc dans U. En changeant les seuils et en contraignant un nombre fini de coordonnées, on obtient une base de voisinages convexes. L’espace E est localement convexe. La figure rend ce contrôle visible sur les deux premières coordonnées.
En pratique
Pour étudier la convergence coordonnée par coordonnée d’une suite de suites, on fixe quelques coordonnées et une tolérance pour chacune. Les semi-normes coordonnées sont préférables à une norme unique lorsque les autres coordonnées doivent rester libres.
Pour construire une forme linéaire continue, la convexité locale permet d’utiliser des arguments de séparation. Le théorème de Hahn-Banach devient l’outil naturel quand une forme définie sur un sous-espace doit être prolongée sous une majoration adaptée.
Pour étudier un ensemble compact et convexe, on s’intéresse à ses points extrémaux. Le théorème de Krein-Milman est pertinent lorsque les hypothèses de compacité, de convexité et de séparation topologique sont effectivement réunies.
À ne pas confondre
Espace localement convexe et partie convexe. Une partie convexe contient le segment entre deux de ses points. Un espace est localement convexe lorsqu’il possède suffisamment de voisinages convexes autour de zéro. Une boule ou un rectangle peut donc être convexe sans que cette seule observation établisse la propriété de tout l’espace.
Semi-norme et norme. Une norme vaut zéro uniquement au vecteur nul. Une semi-norme peut valoir zéro sur d’autres vecteurs : dans l’exemple, p1(z) = 0 pour toute suite dont la première coordonnée est nulle, même si les suivantes ne le sont pas.
Localement convexe et normable. Une norme unique engendre toujours une topologie localement convexe. La réciproque n’est pas automatique : une famille de semi-normes peut imposer des contrôles distincts qu’aucune norme unique ne reproduit.
Limites et pièges
Un voisinage convexe isolé ne suffit pas. Il faut pouvoir trouver un voisinage convexe à l’intérieur de chaque voisinage de zéro. Le bon contrôle consiste donc à vérifier l’existence d’une base entière, pas à exhiber une seule zone convenable.
La séparation des points est une hypothèse supplémentaire. Si toutes les semi-normes donnent la même valeur à deux vecteurs distincts, la topologie engendrée ne les sépare pas. Pour travailler dans un espace séparé, il faut vérifier que, pour tout vecteur non nul, au moins une semi-norme prend une valeur strictement positive.
Les grands théorèmes gardent leurs propres hypothèses. La convexité locale ne suffit pas, à elle seule, à conclure. Krein–Milman porte sur un ensemble non vide, compact et convexe dans un espace localement convexe séparé ; dans un espace normé, Alaoglu concerne la compacité faible-étoile de la boule unité fermée du dual. Il faut vérifier ces données avant d’invoquer leur conclusion.
Une semi-norme n’est pas une distance sans précaution. Pour une semi-norme p, deux vecteurs distincts x et y peuvent vérifier p(x − y) = 0. Une famille séparante de semi-normes assure la séparation topologique, mais pas toujours la métrisabilité ; si cette famille est dénombrable, elle définit une métrique compatible avec la topologie engendrée. Pour une seule semi-norme, on peut aussi passer au quotient par son noyau afin d’obtenir une norme, donc une distance.
Pour aller plus loin
La norme montre le cas où une seule jauge suffit à mesurer tous les vecteurs et à engendrer les voisinages.
L’espace de Banach ajoute la complétude au cadre normé et éclaire un modèle central d’espace localement convexe.
L’espace de Hilbert relie la convexité locale à une norme issue d’un produit scalaire.
Le théorème de Hahn-Banach précise comment prolonger certaines formes linéaires tout en conservant une domination.
Le théorème de Krein-Milman décrit les compacts convexes par leurs points extrémaux sous les hypothèses adaptées.
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