Extrémal (point)

Tracez un triangle plein, puis choisissez deux points quelconques dans ce triangle. Tous les points placés strictement entre eux appartiennent encore au triangle. Pourtant, aucun sommet ne peut se trouver strictement entre deux points distincts du triangle : il n'y a pas de matière du triangle au-delà du sommet pour prolonger le segment.

Les trois sommets sont donc les points extrémaux du triangle. En revanche, le milieu d'un côté ne l'est pas, car les deux extrémités du côté permettent de le fabriquer par un mélange à parts égales.

Soit un ensemble convexe C et un point x de C. Le point x est extrémal lorsque toute écriture de x comme combinaison convexe de deux points a et b de C, avec un poids t strictement compris entre 0 et 1, force ces deux points à être x. Le critère complet est : . La stricte inégalité sur t est indispensable : avec t égal à 0 ou à 1, n'importe quel point admettrait des écritures sans intérêt pour ce critère.

Dans un triangle plein, les points extrémaux sont exactement les trois sommets. Le théorème de Krein–Milman porte cette idée aux espaces vectoriels topologiques localement convexes séparés : tout ensemble non vide à la fois compact et convexe y est l'adhérence de l'enveloppe convexe de ses points extrémaux. L'adhérence compte dans l'énoncé général. Les points extrémaux forment ainsi un squelette du convexe, sans que le mot « minimal » signifie nécessairement qu'aucun point ne puisse être retiré d'un ensemble générateur dont on prend ensuite l'adhérence.

Considérons le triangle plein C dont les sommets sont A de coordonnées (0, 0), B de coordonnées (1, 0) et D de coordonnées (0, 1). Les coordonnées de tout point de C sont positives ou nulles, et leur somme ne dépasse pas 1. On teste le sommet A, puis le milieu M du côté reliant B à D.

1. Pour M, le calcul donne $M=\frac{1}{2}B+\frac{1}{2}D=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})M=\backslash frac12\; B+\backslash frac12\; D=(\backslash frac12,\backslash frac12)$. Les points B et D sont distincts et le poids vaut strictement entre 0 et 1. M n'est donc pas extrémal.

2. Supposons maintenant $A=tP+(1-t)QA=tP+(1-t)Q$, avec P et Q dans C et le poids t strictement compris entre 0 et 1. Chaque coordonnée de P et de Q est positive ou nulle. Pour que leur combinaison ait deux coordonnées nulles, toutes ces coordonnées doivent être nulles.

3. Il s'ensuit que P = Q = A. Le sommet A est extrémal. Pour B, la première coordonnée égale à 1 force celles de P et Q à valoir 1 ; leurs secondes coordonnées valent alors 0. L'argument symétrique vaut pour D.

4. Le contrôle est refaisable dans la représentation : M est au milieu d'un segment entier contenu dans C, tandis qu'aucun sommet n'est à l'intérieur d'un tel segment. Les trois points extrémaux sont A, B et D.

Pour tester un point d'un polygone convexe, cherchez un segment du polygone dont ce point serait strictement à l'intérieur. Un tel segment suffit à exclure l'extrémalité. Si le point est un sommet, il faut au contraire vérifier que toute décomposition convexe retombe sur ce seul point.

Pour reconstruire un convexe à partir de points remarquables, l'enveloppe convexe est l'opération adaptée. Dans le triangle conducteur, elle remplit tout le triangle à partir des trois sommets. Dans le cadre de Krein–Milman, il faut aussi prendre l'adhérence et vérifier la compacité ainsi que la convexité.

Lorsque l'ensemble est ouvert ou non compact, il vaut mieux revenir directement au critère par les segments. Le théorème de Krein–Milman n'est alors pas l'outil de justification approprié.

Un point du bord n'est pas forcément un point extrémal. Le critère qui les sépare est l'existence d'un segment contenu dans le convexe et dont le point est strictement intérieur. Dans le triangle conducteur, le milieu M du côté reliant B à D appartient au bord, mais M = ½B + ½D : il n'est pas extrémal. Les sommets A, B et D sont à la fois sur le bord et extrémaux.

Un convexe peut n'avoir aucun point extrémal. Dans un disque ouvert, tout point est le milieu de deux points distincts encore assez proches pour rester dans le disque. Le symptôme est donc qu'un petit segment traversant le point demeure entièrement dans l'ensemble ; il faut appliquer le critère local au lieu de chercher des sommets absents.

Un ensemble réduit à un seul point présente le cas opposé : son unique point est extrémal, puisque deux points distincts de l'ensemble n'existent pas. La définition reste donc valable dans ce cas dégénéré.

La conclusion de Krein–Milman ne doit pas être détachée de ses hypothèses. Sans compacité, un ensemble convexe peut ne pas être engendré de cette façon par ses points extrémaux. Il faut alors étudier l'ensemble considéré directement, et non invoquer le théorème.

Enfin, l'énoncé général parle de l'adhérence de l'enveloppe convexe. Oublier l'adhérence remplace la conclusion par une affirmation plus forte, qui n'est pas garantie dans un espace localement convexe quelconque.

L'article Enveloppe convexe montre comment engendrer le plus petit convexe contenant des points donnés, l'opération au cœur du théorème de Krein–Milman.

La fiche barycentre prolonge la lecture des combinaisons pondérées qui servent à situer un point entre plusieurs autres.