Corps convexe

Dessinez un rectangle plein, puis choisissez deux points dedans. Le segment qui les relie ne sort jamais du rectangle : c'est l'idée de convexité. Le bord est inclus et la figure ne s'étend pas à l'infini : elle est compacte.

Enfin, le rectangle contient une véritable zone autour de certains points, et pas seulement un trait. Ces trois propriétés réunies — convexité, compacité et intérieur non vide — en font un corps convexe. Une boule pleine ou un cube plein répondent au même portrait.

Dans le cadre réel usuel, soit E un espace vectoriel de dimension finie, muni de sa topologie habituelle, et soit K une partie de E. Dire que K est convexe signifie que, pour tous points x et y de K et tout nombre t compris entre 0 et 1, le point qui partage le segment selon le paramètre t appartient encore à K :

La partie K est un corps convexe si elle est en plus compacte et si son intérieur dans E est non vide. En dimension finie, la compacité équivaut au fait d'être fermée et bornée. La condition sur l'intérieur exclut les objets confinés dans un sous-espace de dimension plus petite, comme un segment dans un plan. Les boules fermées, les cubes pleins et les polytopes de dimension pleine sont des cas particuliers. Après avoir choisi l'origine, un corps est dit symétrique lorsque x appartient à K exactement quand −x appartient à K, autrement dit K = −K. Ces corps symétriques servent notamment à représenter les boules unités des espaces normés de dimension finie.

Cinq éléments structurent la notion. L'espace ambiant E fixe la dimension et donc le sens du mot « intérieur ». La partie K rassemble les points étudiés. La convexité impose que chaque segment joignant deux points de K reste entier dans K. La compacité retient le bord tout en empêchant K de partir à l'infini. L'intérieur non vide garantit enfin que K occupe toute la dimension de E.

Ces conditions sont indépendantes : une boule ouverte est convexe et bornée sans être compacte, tandis qu'un segment du plan est compact et convexe sans intérieur dans le plan. Ensemble, elles donnent un objet plein et maîtrisé sur lequel on peut étudier volume, points extrêmes, hyperplans d'appui ou polaire. Sa couleur, son orientation et son échelle ne participent pas à la définition.

Dans le plan réel, considérons le rectangle K formé des points dont la première coordonnée est comprise entre −2 et 2 et la seconde entre −1 et 1. Le schéma matérialise le segment entre A = (−1,5 ; −0,5) et B = (1 ; 0,75), ainsi que son milieu M = (−0,25 ; 0,125).

Données.
Espace ambiant : le plan ℝ².
Rectangle : $K=[-2,2]\times [-1,1]K=[-2,2]\backslash times[-1,1]$.
Points : A = (−1,5 ; −0,5) et B = (1 ; 0,75).

Étape 1. Dans toute moyenne pondérée de A et B, chaque coordonnée reste dans son intervalle d'origine. Le même raisonnement vaut pour deux points quelconques de K : le rectangle est convexe.

Étape 2. Les deux intervalles sont fermés et bornés. Leur produit K est donc fermé et borné dans ℝ², donc compact.

Étape 3. Le disque ouvert de centre (0 ; 0) et de rayon 1 est contenu dans K. L'intérieur de K n'est donc pas vide. Les trois conditions prouvent que K est un corps convexe ; son aire vaut exactement 4 × 2 = 8 unités carrées.

Contrôle. Le milieu M s'obtient en moyennant séparément les coordonnées de A et B. Ses coordonnées −0,25 et 0,125 restent dans les intervalles imposés, comme le montre le segment entièrement contenu dans K.

En optimisation, un ensemble de solutions admissibles peut former un corps convexe. On vérifie que les contraintes conservent les segments et bornent la région ; une fonction continue y atteint alors un minimum et un maximum. Si la région est ouverte ou non bornée, cette garantie de compacité disparaît.

En géométrie, on compare volume, largeur, diamètre ou hyperplans d'appui sur des corps convexes. Un polytope convient lorsque le bord doit être décrit par un nombre fini de sommets ou de faces ; une boule convient lorsque la symétrie dans toutes les directions est décisive.

En analyse fonctionnelle de dimension finie, un corps convexe symétrique autour de l'origine peut jouer le rôle de boule unité. Le test observable est la symétrie centrale : avec chaque point, son opposé doit être présent. Sans cette symétrie, on conserve un corps convexe, mais pas la boule unité d'une norme.

Corps convexe et ensemble convexe. Tout corps convexe est convexe, mais la réciproque échoue. Dans ℝ², un demi-plan est convexe ; comme il n'est pas borné, ce n'est pas un corps convexe.

Corps convexe et polytope. Un polytope de dimension pleine est un corps convexe à bord formé d'un nombre fini de faces planes. Un disque fermé est aussi un corps convexe, mais son bord courbe montre qu'il n'est pas un polytope.

Corps convexe et enveloppe convexe. L'enveloppe convexe d'un ensemble est le plus petit ensemble convexe qui le contient. Celle de trois points non alignés du plan est le triangle plein, donc un corps convexe ; celle de deux points reste un segment et n'en est pas un dans le plan.

Dimension ambiante oubliée. Dans ℝ², le segment [−1, 1] × {0} est compact et convexe, mais son intérieur est vide. Il devient un corps convexe seulement si on le considère dans la droite qui le porte, avec l'intérieur relatif à cette droite.

Bord retiré. Le disque ouvert de rayon 1 est convexe et possède un intérieur non vide, mais il n'est pas compact : des points peuvent approcher le cercle sans que leur limite appartienne au disque. Il faut prendre le disque fermé pour obtenir un corps convexe.

Région non bornée. Une bande fermée comprise entre deux droites parallèles contient son bord et possède un intérieur, mais elle s'étend indéfiniment. Le symptôme est l'absence de borne dans la direction des droites ; une troncature fermée et bornée est nécessaire.

Symétrie supposée. Un triangle plein est un corps convexe sans être en général symétrique par rapport à l'origine. Avant d'utiliser les outils propres aux corps symétriques, il faut vérifier que chaque point x est accompagné de −x après le choix de l'origine.

La convexité isole la propriété de segment qui constitue le premier pilier de la définition.

Le polytope présente la famille des corps convexes décrits par un nombre fini de sommets ou de faces.

Le glossaire sur l'espace de Banach prolonge le rôle des corps symétriques comme boules unités.

L'article La géométrie convexe replace ces objets dans le domaine qui étudie leurs formes, mesures et relations.